Teorema di Schwarz
Salve a tutti ho un problema con il famoso teorema di Schwarz (lo criverò per funzioni in 2 variabili ma ovviamente per N variabili è la stessa cosa)
Praticamente in classe mi è stato dato questo enunciato:
Tuttavia non ho ben capito la dimostrazione del professore quindi ho cercato di rifarla aiutandomi con il libro. Alla fine l'ho conclusa ed è quella che ho riportato qui sotto. Poi, però, mi sono reso conto che il libro ha un'ipotesi in più dell'enunciato datomi dal prof. L'enunciato del libro è:
Praticamente la continuità delle derivate seconde non è inclusa nel primo enunciato perché la differenziabilità delle derivate parziali prime implica l'esistenza delle derivate parziali seconde ma non la loro continuità. La dimostrazione che ho ricostruito è simile a quella del prof fino ai trattini, poi quella del prof sfrutta la definizione di differenziabilità con gli o-piccolo ma non riesco a capire cosa faccia, avete qualche idea per dimostrare tale teorema senza la continuità delle derivate seconde?
DIMOSTRAZIONE
Sia $(x+h,y+k)\in\mathcal{U}\subseteq A$, dobbiamo mostrare che $f_(xy)\ (x,y)=f_(yx)\ (x,y)$ ossia
Sia quindi $A(h,k)=f(x+h,y+k)-f(x,y+k)-f(x+h,y)+f(x,y)$
La tesi diventa quindi
Definiamo le funzioni $p(t):= f(t,y+k)-f(t,y)$ e $q(t):= f(x+h,t)-f(x,t)$
Di conseguenza si ha $p(x+h)-p(x)=A(h,k)=q(y+k)-q(y)$
Poiché $f$ è differenziabile e quindi continua in $(x,y)$ si ha che $p(t)$ e $q(t)$ sono continue, rispettivamente, in $[x,x+h]$ e $[y,y+k]$ e derivabili in $(x,x+h)$ e $(y,y+k)$ per cui, per il teorema di Lagrange
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Definiamo le funzioni $p_2\ (t):=f_x\ (\xi_1,t)$ e $q_2\ (t):= f_y\ (t,\xi_2\ )$. Quindi si ha
Poiché, per ipotesi anche le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ sono differenziabili e quindi continue in $(x,y)$, si ha che$ p_2\ (t)$ e$ q_2\ (t) $sono continue, rispettivamente, in $[y,y+k]$ e $[x,x+h]$ e derivabili in $(y,y+k)$ e $(x,x+h)$ per cui, per il teorema di Lagrange
Mettendo il tutto insieme si ha:
E infine, ricordando che:
Per la continuità delle derivate seconde, si ha:
Praticamente in classe mi è stato dato questo enunciato:
Sia $A\subseteq\mathbb{R}^2$ un aperto e sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$. Se f è due volte differenziabile in $(x,y)\in A$ allora $f_(xy)\ (x,y)=f_(yx)\ (x,y)$.
Tuttavia non ho ben capito la dimostrazione del professore quindi ho cercato di rifarla aiutandomi con il libro. Alla fine l'ho conclusa ed è quella che ho riportato qui sotto. Poi, però, mi sono reso conto che il libro ha un'ipotesi in più dell'enunciato datomi dal prof. L'enunciato del libro è:
Sia $A\subseteq\mathbb{R}^2$ un aperto e sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$. Se f è differenziabile in un intorno $\mathcal{U}$ di $(x,y)\in A$, le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ sono differenziabili in $(x,y)$ e le derivate parziali seconde miste $f_(xy)$ e $f_(yx)$ sono continue allora $f_(xy)\ (x,y)=f_(yx)\ (x,y)$.
Praticamente la continuità delle derivate seconde non è inclusa nel primo enunciato perché la differenziabilità delle derivate parziali prime implica l'esistenza delle derivate parziali seconde ma non la loro continuità. La dimostrazione che ho ricostruito è simile a quella del prof fino ai trattini, poi quella del prof sfrutta la definizione di differenziabilità con gli o-piccolo ma non riesco a capire cosa faccia, avete qualche idea per dimostrare tale teorema senza la continuità delle derivate seconde?
DIMOSTRAZIONE
Sia $(x+h,y+k)\in\mathcal{U}\subseteq A$, dobbiamo mostrare che $f_(xy)\ (x,y)=f_(yx)\ (x,y)$ ossia
$lim_{k\rightarrow0}(f_x\ (x,y+k)-f_x\ (x,y))/k=lim_{h\rightarrow0}(f_y (x+h,y)-f_y (x,y))/h$
[size=65]$lim_{k\rightarrow0}1/k\ (lim_{h\rightarrow0}(f(x+h,y+k)-f(x,y+k))/h-(f(x+h,y)-f(x,y))/h )=lim_{h\rightarrow0}1/h (lim_{k\rightarrow0}(f(x+h,y+k)-f(x+h,y))/k-(f(x,y+k)-f(x,y))/k )$[/size]
[size=65]$lim_{k\rightarrow0}1/k\ (lim_{h\rightarrow0}(f(x+h,y+k)-f(x,y+k))/h-(f(x+h,y)-f(x,y))/h )=lim_{h\rightarrow0}1/h (lim_{k\rightarrow0}(f(x+h,y+k)-f(x+h,y))/k-(f(x,y+k)-f(x,y))/k )$[/size]
Sia quindi $A(h,k)=f(x+h,y+k)-f(x,y+k)-f(x+h,y)+f(x,y)$
La tesi diventa quindi
$lim_{k\rightarrow0}1/k\ (lim_{h\rightarrow0}(A(h,k))/h )=lim_{h\rightarrow0}1/h (lim_{k\rightarrow0}(A(h,k))/k)$
Definiamo le funzioni $p(t):= f(t,y+k)-f(t,y)$ e $q(t):= f(x+h,t)-f(x,t)$
Di conseguenza si ha $p(x+h)-p(x)=A(h,k)=q(y+k)-q(y)$
Poiché $f$ è differenziabile e quindi continua in $(x,y)$ si ha che $p(t)$ e $q(t)$ sono continue, rispettivamente, in $[x,x+h]$ e $[y,y+k]$ e derivabili in $(x,x+h)$ e $(y,y+k)$ per cui, per il teorema di Lagrange
$\exists\xi_1\in(x,x+h):\ \ \ p(x+h)-p(x)=\ p^\prime\ (\xi_1\ )h=(f_x\ (\xi_1,y+k)-f_x\ (\xi_1,y))h$
$\exists\xi_2\in(y,y+k):\ \ \ q(y+k)-q(y)=\ q^\prime\ (\xi_2\ )k=(f_y\ (x+h,\xi_2\ )-f_y\ (x,\xi_2))k$
$\exists\xi_2\in(y,y+k):\ \ \ q(y+k)-q(y)=\ q^\prime\ (\xi_2\ )k=(f_y\ (x+h,\xi_2\ )-f_y\ (x,\xi_2))k$
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Definiamo le funzioni $p_2\ (t):=f_x\ (\xi_1,t)$ e $q_2\ (t):= f_y\ (t,\xi_2\ )$. Quindi si ha
$p(x+h)-p(x)=\ (f_x\ (\xi_1,y+k)-f_x\ (\xi_1,y))h=(p_2\ (y+k)-p_2\ (y))\ \ h$
$q(y+k)-q(y)=(f_y\ (x+h,\xi_2\ )-f_y\ (x,\xi_2\ ))k=(q_2\ (x+h)-q_2\ (x))\ \ k$
$q(y+k)-q(y)=(f_y\ (x+h,\xi_2\ )-f_y\ (x,\xi_2\ ))k=(q_2\ (x+h)-q_2\ (x))\ \ k$
Poiché, per ipotesi anche le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ sono differenziabili e quindi continue in $(x,y)$, si ha che$ p_2\ (t)$ e$ q_2\ (t) $sono continue, rispettivamente, in $[y,y+k]$ e $[x,x+h]$ e derivabili in $(y,y+k)$ e $(x,x+h)$ per cui, per il teorema di Lagrange
$\exists\eta_1\in(y,y+k):\ \ \ p_2\ (y+k)-p_2\ (y)=\ p_2^\prime\ (\eta_1\ )k=(f_xy\ (\xi_1,\eta_1\ ))k$
$\exists\eta_2\in(x,x+h):\ \ \ q_2\ (x+h)-q_2\ (x)=\ q_2^\prime\ (\eta_2\ )h=(f_yx\ (\eta_2,\xi_2\ ))h$
$\exists\eta_2\in(x,x+h):\ \ \ q_2\ (x+h)-q_2\ (x)=\ q_2^\prime\ (\eta_2\ )h=(f_yx\ (\eta_2,\xi_2\ ))h$
Mettendo il tutto insieme si ha:
$lim_{k\rightarrow0}1/k\ (lim_{h\rightarrow0}((f_(xy)\ (\xi_1,\eta_1\ ))hk)/h )=lim_{h\rightarrow0}1/h (lim_{h\rightarrow0}((f_(yx) (η_2,ξ_2 ))kh)/k )$
E infine, ricordando che:
$\xi_1,\ \eta_2\in(x,x+h)\ \ \ \Rightarrow\ \ \xi_1,\ \eta_2\rightarrow x$ per $h\rightarrow0$
$\xi_2,\eta_1\in(y,y+k)\ \ \ \Rightarrow\ \ \xi_2,\eta_1\rightarrow y$ per $k\rightarrow0$
$\xi_2,\eta_1\in(y,y+k)\ \ \ \Rightarrow\ \ \xi_2,\eta_1\rightarrow y$ per $k\rightarrow0$
Per la continuità delle derivate seconde, si ha:
[size=75]$lim_{k\rightarrow0} 1/k (lim_{h\rightarrow0}((f_(xy)(\xi_1,\eta_1\ ))hk)/h)=lim_{h\rightarrow0}1/h (lim_{k\rightarrow0}((f_(yx) (η_2,ξ_2 ))kh)/k ) ⇔ lim_{k\rightarrow0}(f_(xy)(x,η_1)k)/k = lim_{h\rightarrow0} (f_(yx) (η_2,y)h)/h ⇔ f_(xy) (x,y)=f_(yx) (x,y)$[/size]
Risposte
Questa è una dimostrazione che mi piace, ma che richiede la continuità di una delle derivate miste. ( Qui si parla di quali siano le ipotesi minime per questo teorema, è roba un po' complicata). Nella pratica comunque il teorema si applica sempre a funzioni di classe \(C^2\), quindi non preoccuparti troppo di queste cose.
In fondo l'idea di questo teorema è semplice. Definisci
\[
\Delta_{x, h}f(x, y):= f(x+h, y), \quad \Delta_{y, h} f(x,y)=f(x, y+h).\]
Quindi
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{\Delta_{x, h} f(x, y)}{h},\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \lim_{k\to 0} \frac{\Delta_{y, k} f(x, y)}{k}.\]
Le derivate seconde si ottengono quindi come limite:
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\lim_{h\to 0}\lim_{k\to 0} \frac{\Delta_{x, h}\Delta_{y, k} f}{hk}(x, y), \]
e
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =\lim_{k\to 0}\lim_{h\to 0} \frac{\Delta_{y, k}\Delta_{x, h} f}{hk}(x, y). \]
Siccome è chiaro che
\[
\Delta_{x, h}\Delta_{y, k}f = \Delta_{y, k}\Delta_{x, h} f, \]
l'unica cosa da dimostrare è che si possono scambiare i due limiti. Si tratta quindi di un fatto tecnico che richiede un minimo di continuità.
In fondo l'idea di questo teorema è semplice. Definisci
\[
\Delta_{x, h}f(x, y):= f(x+h, y), \quad \Delta_{y, h} f(x,y)=f(x, y+h).\]
Quindi
\[
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{\Delta_{x, h} f(x, y)}{h},\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \lim_{k\to 0} \frac{\Delta_{y, k} f(x, y)}{k}.\]
Le derivate seconde si ottengono quindi come limite:
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\lim_{h\to 0}\lim_{k\to 0} \frac{\Delta_{x, h}\Delta_{y, k} f}{hk}(x, y), \]
e
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =\lim_{k\to 0}\lim_{h\to 0} \frac{\Delta_{y, k}\Delta_{x, h} f}{hk}(x, y). \]
Siccome è chiaro che
\[
\Delta_{x, h}\Delta_{y, k}f = \Delta_{y, k}\Delta_{x, h} f, \]
l'unica cosa da dimostrare è che si possono scambiare i due limiti. Si tratta quindi di un fatto tecnico che richiede un minimo di continuità.
Ciao, scusami il ritardo nel rispondere
Penso di aver capito come dover procedere, aggiusto la dimostrazione riprendendo da dopo i trattini
DIMOSTRAZIONE
Sia $(x+h,y+k)\in\mathcal{U}\subseteq A$, dobbiamo mostrare che $f_(xy)\ (x,y)=f_(yx)\ (x,y)$ ossia
Sia quindi $A(h,k)=f(x+h,y+k)-f(x,y+k)-f(x+h,y)+f(x,y)$
La tesi diventa quindi
Definiamo le funzioni $p(t):= f(t,y+k)-f(t,y)$ e $q(t):= f(x+h,t)-f(x,t)$
Di conseguenza si ha $p(x+h)-p(x)=A(h,k)=q(y+k)-q(y)$
Poiché $f$ è differenziabile e quindi continua in $(x,y)$ si ha che $p(t)$ e $q(t)$ sono continue, rispettivamente, in $[x,x+h]$ e $[y,y+k]$ e derivabili in $(x,x+h)$ e $(y,y+k)$ per cui, per il teorema di Lagrange
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Posso scrivere $\xi_1=x+\lambda_1h, \xi_2=x+\lambda_2k$ con $\lambda_1,lamda_2\in(0,1)$ e poiche $f_x,f_y$ sono differenziabili in $(x,y)$ si ha:
e similmente
Quindi possiamo porre $h=k$ (non mi è ben chiaro perché questo è lecito farlo...) e mettendo il tutto insieme si ha
$lim_{h\rightarrow0} (A(h,k))/h^2=lim_{h\rightarrow0} (p(x+h)-p(x))/h^2=lim_{h\rightarrow0} (f_(xy)(x,y)h+o(sqrt((\lambda_1)^2h^2+h^2))+o(\lambda_1h))/h=f_(xy)(x,y)$
$lim_{h\rightarrow0} (A(h,k))/h^2=lim_{h\rightarrow0} (q(y+k)-q(y))/h^2=lim_{h\rightarrow0} (f_(yx)(x,y)h+o(sqrt((\lambda_2)^2h^2+h^2))+o(\lambda_2h))/h=f_(yx)(x,y)$
Quindi $f_(xy)(x,y)=lim_{h\rightarrow0} (A(h,k))/h^2=f_(yx)(x,y)$
Penso di aver capito come dover procedere, aggiusto la dimostrazione riprendendo da dopo i trattini
Sia $A\subseteq\mathbb{R}^2$ un aperto e sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$. Se f è due volte differenziabile in $(x,y)\in A$ allora $f_(xy)\ (x,y)=f_(yx)\ (x,y)$.
DIMOSTRAZIONE
Sia $(x+h,y+k)\in\mathcal{U}\subseteq A$, dobbiamo mostrare che $f_(xy)\ (x,y)=f_(yx)\ (x,y)$ ossia
$lim_{k\rightarrow0}(f_x\ (x,y+k)-f_x\ (x,y))/k=lim_{h\rightarrow0}(f_y (x+h,y)-f_y (x,y))/h$
[size=65]$lim_{k\rightarrow0}1/k\ (lim_{h\rightarrow0}(f(x+h,y+k)-f(x,y+k))/h-(f(x+h,y)-f(x,y))/h )=lim_{h\rightarrow0}1/h (lim_{k\rightarrow0}(f(x+h,y+k)-f(x+h,y))/k-(f(x,y+k)-f(x,y))/k )$[/size]
[size=65]$lim_{k\rightarrow0}1/k\ (lim_{h\rightarrow0}(f(x+h,y+k)-f(x,y+k))/h-(f(x+h,y)-f(x,y))/h )=lim_{h\rightarrow0}1/h (lim_{k\rightarrow0}(f(x+h,y+k)-f(x+h,y))/k-(f(x,y+k)-f(x,y))/k )$[/size]
Sia quindi $A(h,k)=f(x+h,y+k)-f(x,y+k)-f(x+h,y)+f(x,y)$
La tesi diventa quindi
$lim_{k\rightarrow0}1/k\ (lim_{h\rightarrow0}(A(h,k))/h )=lim_{h\rightarrow0}1/h (lim_{k\rightarrow0}(A(h,k))/k)$
Definiamo le funzioni $p(t):= f(t,y+k)-f(t,y)$ e $q(t):= f(x+h,t)-f(x,t)$
Di conseguenza si ha $p(x+h)-p(x)=A(h,k)=q(y+k)-q(y)$
Poiché $f$ è differenziabile e quindi continua in $(x,y)$ si ha che $p(t)$ e $q(t)$ sono continue, rispettivamente, in $[x,x+h]$ e $[y,y+k]$ e derivabili in $(x,x+h)$ e $(y,y+k)$ per cui, per il teorema di Lagrange
$\exists\xi_1\in(x,x+h):\ \ \ p(x+h)-p(x)=\ p^\prime\ (\xi_1\ )h=(f_x\ (\xi_1,y+k)-f_x\ (\xi_1,y))h$
$\exists\xi_2\in(y,y+k):\ \ \ q(y+k)-q(y)=\ q^\prime\ (\xi_2\ )k=(f_y\ (x+h,\xi_2\ )-f_y\ (x,\xi_2))k$
$\exists\xi_2\in(y,y+k):\ \ \ q(y+k)-q(y)=\ q^\prime\ (\xi_2\ )k=(f_y\ (x+h,\xi_2\ )-f_y\ (x,\xi_2))k$
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Posso scrivere $\xi_1=x+\lambda_1h, \xi_2=x+\lambda_2k$ con $\lambda_1,lamda_2\in(0,1)$ e poiche $f_x,f_y$ sono differenziabili in $(x,y)$ si ha:
$f_x\ (\xi_1,y+k)-f_x\ (\xi_1,y)=(f_x(x,y)+f_(xx)(x,y)\lamda_1h+f_(xy)(x,y)k+o(sqrt((\lambda_1)^2h^2+k^2)))-(f_x(x,y)+f_(xx)(x,y)\lamda_1h+f_(xy)(x,y)\cdot0+o(\lambda_1h))=f_(xy)(x,y)k+o(sqrt((\lambda_1)^2h^2+k^2))+o(\lambda_1h)$
e similmente
$f_y\ (x+h,\xi_2\ )-f_y\ (x,\xi_2)=f_(yx)(x,y)h+o(sqrt((\lambda_2)^2k^2+h^2))+o(\lambda_2k)$
Quindi possiamo porre $h=k$ (non mi è ben chiaro perché questo è lecito farlo...) e mettendo il tutto insieme si ha
$lim_{h\rightarrow0} (A(h,k))/h^2=lim_{h\rightarrow0} (p(x+h)-p(x))/h^2=lim_{h\rightarrow0} (f_(xy)(x,y)h+o(sqrt((\lambda_1)^2h^2+h^2))+o(\lambda_1h))/h=f_(xy)(x,y)$
$lim_{h\rightarrow0} (A(h,k))/h^2=lim_{h\rightarrow0} (q(y+k)-q(y))/h^2=lim_{h\rightarrow0} (f_(yx)(x,y)h+o(sqrt((\lambda_2)^2h^2+h^2))+o(\lambda_2h))/h=f_(yx)(x,y)$
Quindi $f_(xy)(x,y)=lim_{h\rightarrow0} (A(h,k))/h^2=f_(yx)(x,y)$
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