Teorema di Riemann ( serie ).

[_GaS_11]

L'enunciato di questo teorema mi ha davvero incuriosito. Ho deciso di renderlo un esercizio e provare a dimostrarlo ( la dimostrazione sul libro non l'ho ancora letta ). Vorrei sapere se la dimostrazione è corretta.
Se '' $sum_{n=1}^{+oo}a_n$ '' converge, ma non assolutamente, comunque assegnati '' $alpha$ '' e '' $beta$ '' tali che '' $-infty<=alpha<=beta<=+infty$ '', esiste una permutazione '' $pi$ '' tale che:
$lim_{ktooo}INFsum_{n=1}^{k}a_(pi(n))=alpha$, $lim_{ktooo}SUPsum_{n=1}^{k}a_(pi(n))=beta$.
DIMOSTRAZIONE.
La serie converge, ma non assolutamente. Allora:
$sum_{n=1}^{+oo}|a_n|=+oo$.
Sia '' ${a_x}sub{a_n}:a_x>=0,AAx$ '', ovvero la successione dei positivi di '' ${a_n}$ ''.
Sia '' ${a_y}sub{a_n}:a_y<0,AAy$ '', ovvero la successione dei negativi di '' ${a_n}$ ''.
Abbiamo: $sum_{x=1}^(+oo)a_x=+oo$, $sum_{y=1}^(+oo)a_y=-oo$.
Posso dimostrarlo facilmente, ma qui evito per non eccedere in lunghezza.
- DIVERGENZA.
Stabiliamo una serie permutata '' ${a_(pi(n))}$ '' in modo che ogni '' $p$ '' elementi vi sia solamente un valore negativo e che questa somma parziale risulti positiva.
$sum_{n=1}^(+oo)a_(pi(n))>0$. Se '' $1<=n<=p-1:a_(pi(n))>=0$; se $n=p:a_(pi(n))<0$ ''.
Analogamente: $sum_{n=p+1}^(2p)a_(pi(n))...$.
Consideriamo la generica somma parziale: $sum_{n=p(k-1)+1}^(kp)a_(pi(n))=S_k$. Con '' $k,piinNN$ ''.
Poiché '' $sum_{x=1}^(+oo)a_x=+oo$ '' ( possiamo '' pescare '' quello che vogliamo dall'infinito ) si può costruire una serie in modo tale che: $sum_{n=1}^(+oo)S_n:AAn>=1,1<(S_(n+1))/S_n<+oo,S_n>0$.
Quindi: $sum_{N=1}^(+oo)S_n=sum_{n=1}^(+oo)a_pi(n)=+oo$.
Basta '' privilegiare '' i negativi per '' $-oo$ ''.
- CONVERGENZA.
Concentriamoci prima sulla convergenza ad un valore diverso. Come prima utilizziamo lo stesso criterio, ovvero una serie di somme parziali. Sia '' $a_(pi(n))$ '' la successione permutata tale che:
$S_k=sum_{n=p(k-1)+1}^(+oo)a_(pi(n))>sum_{n=p(k-1)+1}^(+oo)a_n=A_k,AAk>=1 S_k>0$.
Ovvero nella permutata e nell'originaria si prendono gruppi ( ogni gruppo è una somma parziale ) di '' $p$ '' elementi delle rispettive successioni. In ogni '' $S_k$ '' ci sono elementi in modo tale che sia maggiore la loro somma rispetto al corrispettivo '' $A_k$ ''.
Consideriamo le sommatorie ( serie ):
$sum_{n=1}^(+oo)S_n;sum_{n=1}^(+oo)A_n$.
Poiché '' $AAn>=1, S_n>A_n=>sum_{n=1}^(+oo)S_n!=sum_{n=1}^(+oo)A_n$ ''.
Affinché la serie sia convergente basta costruirla con la condizione ( ulteriore ):
Sia '' $sum_{n=1}^(+oo)S_n:AAn>=1,0 Quindi: $sum_{n=1}^(+oo)S_n=alpha_1>alpha$.
Dimostriamo che ogni elemento di '' $RR$ '' può essere un limite.
$sum_{n=1}^(+oo)a_n=alpha,-oo $AAepsilon>0,EEp_0:AAp>=p_0,AAq>=0:|sum_{n=p}^(p+q)a_n| Esiste una sottosuccessione la cui somma degli elementi tende a '' $0$ ''. In una serie divergente non è detto che vi siano tali elementi. Quindi:
$EE{a_(n_k)}sub{a_n}:sum_{n=1}^(+oo)a_(n_k)=delta,0 Ad ogni '' $S_n$ '' si può '' agganciare '' un '' $a_(n_k)$ ''. Consideriamo la serie '' $sum_{n=1}^(+oo)(S_n+a_(n_k))$ ''.
$sum_{n=1}^(+oo)(S_n+a_(n_k))=sum_{n=1}^(+oo)S_n+sum_{n=1}^(+oo)a_(n_k)=alpha_1+delta,AAdeltainRR$.
Anche qui basta '' privilegiare '' i negativi per un eventuale valore inferiore a '' $alpha$ ''.
Ogni valore può essere ricavato.