Teorema di rettificabilità delle curve $C^1$
Salve a tutti! Ho un piccolo dubbio in merito a questa dimostrazione, potreste guidarmi?
Vi ringrazio!
Teorema
Sia $\phi:[a,b]->RR^n$ di classe $C^1$ allora essa è rettificabile e la sua lunghezza vale: $L(\phi)=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$.
Dimostrazione: cominciamo con il provare che risulta
$l(P)<=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$ per ogni poligonale $P$ inscritta nella curva $\phi$ e determinata da una partizione $a=t_0
$l(P)=sum_(i=1)^N |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|=sum_(i=1)^N |int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \phi^{\prime} (t)dt|<=sum_(i=1)^N int_{t_{i-1}}^{t_{i}} |\phi^{\prime} (t)|dt=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$.
quindi segue che :
1) $L(\phi)="sup" (l(P))<=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$
viceversa essendo $\phi^{\prime}$ uniformente continua in $[a,b]$, fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che:
$s,t\in [a,b]\; , |t-s|<\delta=>|\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime} (s)|<\epsilon$.
consideriamo una partizione $a=t_0
$\phi(t_{i})-\phi(t_{i-1})=int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \phi^{\prime} (t)dt=int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} (\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime}(s))dt+\phi^{\prime} (s)(t_i -t_{i-1})$
da cui passando ai moduli e considertando l'uniforme continuità si ha:
$|\phi^{\prime} (s)|(t_i -t_{i-1})<=|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+|int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} (\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime}(s))dt|<=|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+\epsilon(t_i -t_{i-1})$
si ottiene:
$|\phi^{\prime} (s)|<=(|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|)/(t_i -t_{i-1}) +\epsilon$
e integrando la precedente disuguaglianza per $s\in[t_(i-1),t_i]$ si ha:
$int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} |\phi^{\prime} (s)|ds<= |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+ \epsilon(t_i -t_{i-1}).$
e sommando per $i=1,2,...,N$ si ha:
$int_a^b |\phi^{\prime} (s)|ds<=l(P)+\epsilon(b-a)<=L(\phi)+\epsilon(b-a)$.
Facendo tendere $epsilon$ a zero segue la tesi.
Domanda
1) Se $l(P)<=int_(a)^b |phi'(t)|dt$ cosa mi garantisce che la disuguaglianza sia ancora vera per l'estremo superiore $L(phi)="sup"l(P)$?
Vi ringrazio!
Teorema
Sia $\phi:[a,b]->RR^n$ di classe $C^1$ allora essa è rettificabile e la sua lunghezza vale: $L(\phi)=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$.
Dimostrazione: cominciamo con il provare che risulta
$l(P)<=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$ per ogni poligonale $P$ inscritta nella curva $\phi$ e determinata da una partizione $a=t_0
$l(P)=sum_(i=1)^N |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|=sum_(i=1)^N |int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \phi^{\prime} (t)dt|<=sum_(i=1)^N int_{t_{i-1}}^{t_{i}} |\phi^{\prime} (t)|dt=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$.
quindi segue che :
1) $L(\phi)="sup" (l(P))<=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$
viceversa essendo $\phi^{\prime}$ uniformente continua in $[a,b]$, fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che:
$s,t\in [a,b]\; , |t-s|<\delta=>|\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime} (s)|<\epsilon$.
consideriamo una partizione $a=t_0
$\phi(t_{i})-\phi(t_{i-1})=int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \phi^{\prime} (t)dt=int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} (\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime}(s))dt+\phi^{\prime} (s)(t_i -t_{i-1})$
da cui passando ai moduli e considertando l'uniforme continuità si ha:
$|\phi^{\prime} (s)|(t_i -t_{i-1})<=|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+|int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} (\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime}(s))dt|<=|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+\epsilon(t_i -t_{i-1})$
si ottiene:
$|\phi^{\prime} (s)|<=(|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|)/(t_i -t_{i-1}) +\epsilon$
e integrando la precedente disuguaglianza per $s\in[t_(i-1),t_i]$ si ha:
$int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} |\phi^{\prime} (s)|ds<= |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+ \epsilon(t_i -t_{i-1}).$
e sommando per $i=1,2,...,N$ si ha:
$int_a^b |\phi^{\prime} (s)|ds<=l(P)+\epsilon(b-a)<=L(\phi)+\epsilon(b-a)$.
Facendo tendere $epsilon$ a zero segue la tesi.
Domanda
1) Se $l(P)<=int_(a)^b |phi'(t)|dt$ cosa mi garantisce che la disuguaglianza sia ancora vera per l'estremo superiore $L(phi)="sup"l(P)$?
Risposte
Le proprietà dell'estremo superiore.
Mi era sfuggito come fosse definito $P$, perdona la perdita di tempo 
Magari fossero tutte così le perdite di tempo. Hai scritto un bel post. Tante volte, scrivendo scrivendo uno trova la risposta praticamente da solo. Ecco perché incoraggiamo a scrivere, invece di fare foto col telefonino.
Vero. Mi sarà capitato millemila volte di star scrivendo un nuovo thread e di cancellare tutto perché trovo da me la risposta. Alle volte però, risulta un'attività più passiva del solito e finisco per sorvolare.
Grazie!
Grazie!
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