Teorema di punto fisso?
Ciao ragazzi,
tra i vari teoremi che i miei prof richiedono di saper dimostrare è citato un teorema di punto fisso, ma ho visto su internet che ne esistono èiù di uno, quale è quello in genere richiesto in analisi 1?
Si trova in elenco tra teorema degli zeri e weierstrass.
tra i vari teoremi che i miei prof richiedono di saper dimostrare è citato un teorema di punto fisso, ma ho visto su internet che ne esistono èiù di uno, quale è quello in genere richiesto in analisi 1?
Si trova in elenco tra teorema degli zeri e weierstrass.
Risposte
Probabilmente è quello noto anche come teorema di Brouwer.
P.S. In ogni caso, ti consiglio di chiedere al docente oppure di guardare sul tuo libro/dispense etc..
P.S. In ogni caso, ti consiglio di chiedere al docente oppure di guardare sul tuo libro/dispense etc..
Teorema di Brouwer in analisi 1? 
Vuoi dire il caso particolare delle funzioni continue $[0, 1] \to [0, 1]$ spero.
Vuoi dire il caso particolare delle funzioni continue $[0, 1] \to [0, 1]$ spero.
"dissonance":
Vuoi dire il caso particolare delle funzioni continue $[0, 1] \to [0, 1]$ spero.
Ceeeerto.
Per altro la dimostrazione standard è proprio quella che suggerisce FP nel link del mio post sopra.
Per "Tommyr89", tratto da Wikipedia:
Il Teorema di Brouwer è un teorema di topologia che mette in relazione il concetto di funzione continua con la proprietà di avere un punto fisso nell'ambito degli spazi euclidei.
Un punto fisso di una funzione che manda un insieme in sé stesso
$f:X->X$
è un elemento $a$ dell'insieme che viene mandato su sé stesso dalla funzione cioè tale che $f(a)=a$.
Il teorema di Brouwer stabilisce che
In uno spazio euclideo ogni funzione continua che porta la palla unitaria in sé stessa ha un punto fisso.
Nel caso unidimensionale il teorema afferma che una funzione continua che manda l'intervallo $[0,1]$ in sé stesso deve avere un punto a per cui $f(a)=a$. In questo caso è semplice capire il perché: il grafico (riportato sotto) della funzione è una curva che connette il segmento verticale $x=0$ con il segmento $x=1$, e tale curva dovrà necessariamente attraversare la bisettrice degli assi $y=x$. Nel punto $(a,a)$ di intersezione tra i due grafici si deve avere (uguagliando le ordinate) $f(a)=a$.
Il Teorema di Brouwer è un teorema di topologia che mette in relazione il concetto di funzione continua con la proprietà di avere un punto fisso nell'ambito degli spazi euclidei.
Un punto fisso di una funzione che manda un insieme in sé stesso
$f:X->X$
è un elemento $a$ dell'insieme che viene mandato su sé stesso dalla funzione cioè tale che $f(a)=a$.
Il teorema di Brouwer stabilisce che
In uno spazio euclideo ogni funzione continua che porta la palla unitaria in sé stessa ha un punto fisso.
Nel caso unidimensionale il teorema afferma che una funzione continua che manda l'intervallo $[0,1]$ in sé stesso deve avere un punto a per cui $f(a)=a$. In questo caso è semplice capire il perché: il grafico (riportato sotto) della funzione è una curva che connette il segmento verticale $x=0$ con il segmento $x=1$, e tale curva dovrà necessariamente attraversare la bisettrice degli assi $y=x$. Nel punto $(a,a)$ di intersezione tra i due grafici si deve avere (uguagliando le ordinate) $f(a)=a$.
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