Teorema di Lusin di classe C infinito?
Consideriamo questa generalizzazione $C^infty$ del lemma di Urysohn in $RR^n$:
- Lemma di Urysohn di classe $C^infty$:
Siano $K$ un compatto e $Omega$ un aperto di $RR^n$, $K\subsetOmega$. Allora esiste una funzione $u\inC_C^infty(Omega)$ tale che $K-
Una conseguenza del lemma di Urysohn di classe $C^0$ che ho incontrato (vedi Rudin-Real and complex analysis) è il teorema di Lusin: in $RR^n$ (e anche in altri spazi ma al momento non ci interessa) è possibile approssimare le funzioni misurabili con funzioni $C_C(RR^n)$, almeno sulle parti di misura finita.
Pertanto mi chiedevo: vuoi vedere che si riesce a fabbricare anche un teorema di Lusin di classe $C^infty$? Più precisamente:
- Teorema di Lusin di classe $C^infty$?:
Sia $A\subRR^n$, $m(A)
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(*) i.e. "$f$ separa $K$ da $Omega$": $0<=f<=1$, $f(x)=1$ per ogni $x\inK$.
Risposte
Non vorrei dire una cavolata, ma mi pare che per dimostare il Teorema di Lusin "classico" si utilizzi una partizione dell'unità (o qualcosa di simile) costruita a partire dal lemma di Urysohn, ovviamente con funzioni continue. Mi pare che ripetendo la dimostrazione con una partizione con funzioni $C^\infty$ dovresti riuscire a ricostruire un discorso del tutto analogo e quindi poter dimostrare questo Teorema di Lusin di classe $C^\infty$... ma in verità il mio cervello ora è a spasso, e non sono proprio sicuro che ciò che ho affermato sia corretto! 
"ciampax":
Non vorrei dire una cavolata, ma mi pare che per dimostare il Teorema di Lusin "classico" si utilizzi una partizione dell'unità (o qualcosa di simile) costruita a partire dal lemma di Urysohn, ovviamente con funzioni continue. Mi pare che ripetendo la dimostrazione con una partizione con funzioni $C^\infty$ dovresti riuscire a ricostruire un discorso del tutto analogo e quindi poter dimostrare questo Teorema di Lusin di classe $C^\infty$... ma in verità il mio cervello ora è a spasso, e non sono proprio sicuro che ciò che ho affermato sia corretto!
Purtroppo anche il mio cervello è a spasso al momento...
!Ma quanto dici qui è precisamente quello a cui pensavo io. Quindi mi confermi che non è una cosa peregrina!
C'è da risolvere qualche problema di convergenza, però. Nel teorema di Lusin classico la funzione $C_C$ salta fuori come limite uniforme di una serie di funzioni $C_C$. Ma una serie di funzioni $C_C^infty$ non converge necessariamente ad una funzione $C_C^infty$... Ci devo pensare.
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P.S.: Invece di $C_C^infty$ vorrei scrivere \mathcal{D} ma Firefox me lo interpreta come uno sgorbio: $\mathcal{D}$. Tu lo vedi correttamente?
Però data una funzione $g$ di classe $C_c$ puoi sempre determinare una funzione $h$ di classe $C_c^oo$ tale che $||g-h||_oo*). Quindi visto che nel supporto di $g$ ho $||f-g||_oo
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* Qui $rho_m$ è un elemento di un'opportuna successione di mollificatori.
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* Qui $rho_m$ è un elemento di un'opportuna successione di mollificatori.
Premesso che non so la risposta sono un po' perplesso.
Se fosse vero una qualunque funzione continua $f$ ammetterebbe un insieme con complementare di misura piccola
tale che la restrizione di $f$ a questo insieme sarebbe $C^\infty$ - mi pare strano.
Viene in mente il fatto che ci sono funzioni continue non derivabili in nessun punto - lo so che questo non dice nulla sulle
restrizioni, pero' questo discorso mi porta a chiedermi cosa significhi dire che $f$ e' $C^\infty$ su un insieme arbitrario.
Viceversa i teoremi di densità delle $C^\infty$ (a cui mi pare accenni Gugo82) sono veri.
Non lo so...
Se fosse vero una qualunque funzione continua $f$ ammetterebbe un insieme con complementare di misura piccola
tale che la restrizione di $f$ a questo insieme sarebbe $C^\infty$ - mi pare strano.
Viene in mente il fatto che ci sono funzioni continue non derivabili in nessun punto - lo so che questo non dice nulla sulle
restrizioni, pero' questo discorso mi porta a chiedermi cosa significhi dire che $f$ e' $C^\infty$ su un insieme arbitrario.
Viceversa i teoremi di densità delle $C^\infty$ (a cui mi pare accenni Gugo82) sono veri.
Non lo so...
@Gugo: a) vado di fretta; b) fai riferimento ad un argomento (mollificatori) che purtroppo conosco poco. Quindi perdona eventuali castronerie;
Io punto a dimostrare che, se $f$ è misurabile e nulla fuori da una parte di misura finita, $\forall epsilon$ esiste una funzione $h\inC_C^infty(RR^n)$ che la approssima "in misura": $m{x\inRR^n\ :\ f(x)!=h(x)}
Se capisco bene, tu consigli di prendere una funzione $g\inC_C$ come in Lusin classico e approssimarla uniformemente con una $h\inC_C^infty$. Ma così non arrivo ad una approssimazione "in misura", semmai ad una approssimazione uniforme, e non mi sembrano la stessa cosa... mi sbaglio?
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a V.G.
Io punto a dimostrare che, se $f$ è misurabile e nulla fuori da una parte di misura finita, $\forall epsilon$ esiste una funzione $h\inC_C^infty(RR^n)$ che la approssima "in misura": $m{x\inRR^n\ :\ f(x)!=h(x)}
Se capisco bene, tu consigli di prendere una funzione $g\inC_C$ come in Lusin classico e approssimarla uniformemente con una $h\inC_C^infty$. Ma così non arrivo ad una approssimazione "in misura", semmai ad una approssimazione uniforme, e non mi sembrano la stessa cosa... mi sbaglio?
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a V.G.
Alla luce di quello che dice V.G., stavo pensando se, in realtà, la cosa che voglia dimostrare un qualcosa che sia più collegato ad un teorema di "Estensione analitica" (anche se bisognerebbe vedere in che senso passare da $C^\infty$ a $C^\omega$), piuttosto che un risultato di "approssimazione" alla Lusin! Effettivamente la cosa che dicevo ieri sera aveva come punto oscuro proprio il concetto di funzione $C^\infty$: nella mia testa pensavo all'idea di approssimare tali funzioni con una sorta di "serie" della funzione stessa, che fosse convergente in ogni punto (o almeno quasi ovunque) sull'insieme dato! Però... boh, non so, adesso la cosa che ho detto mi sembra una castroneria.
Si si mi avete convinto. Se la proposizione sia vera o falsa non lo so e non saprei proprio dove iniziare per trovare un controesempio. Ma di sicuro rifare pedissequamente la dimostrazione del Lusin classico infilzandoci però il lemma di Urysohn $C^infty$ non porta da nessuna parte. Lusin classico si può dimostrare così: con opportune ipotesi su dominio e codominio della $f$ misurabile, possiamo scrivere la $f$ in notazione binaria:
$f(x)=sum_{n=1}^infty[chi_(A_n)(x)]/[2^n]$ dove gli $A_n$ sono insiemi misurabili. A questo punto si usa Urysohn per fabbricare delle funzioni $C_C$ che approssimino le $chi_(A_n)$.
Grazie al fatto che le funzioni fabbricate dal lemma di Urysohn hanno valori in $[0, 1]$, succede che la serie di queste funzioni $C_C$ converge uniformemente e la somma è quindi una funzione $C_C$ che verifica la tesi.
Rifacendo tutto con il lemma di Urysohn di classe $C^infty$, arriveremmo al massimo alla parte in sottolineato. Dopodiché ci fermiamo: perché la somma della serie sia $C^infty$ servirebbe un controllo sulle derivate che non siamo in grado di fornire, non perché non lo sappiamo fare, ma perché è nella natura delle cose che non esista. Infatti una funzione $C^infty$ può tranquillamente avere valori in $[0, 1]$ ma le derivate grandi a volontà (qualcosa come $e^(-n|x|)$ per intenderci).
$f(x)=sum_{n=1}^infty[chi_(A_n)(x)]/[2^n]$ dove gli $A_n$ sono insiemi misurabili. A questo punto si usa Urysohn per fabbricare delle funzioni $C_C$ che approssimino le $chi_(A_n)$.
Grazie al fatto che le funzioni fabbricate dal lemma di Urysohn hanno valori in $[0, 1]$, succede che la serie di queste funzioni $C_C$ converge uniformemente e la somma è quindi una funzione $C_C$ che verifica la tesi.
Rifacendo tutto con il lemma di Urysohn di classe $C^infty$, arriveremmo al massimo alla parte in sottolineato. Dopodiché ci fermiamo: perché la somma della serie sia $C^infty$ servirebbe un controllo sulle derivate che non siamo in grado di fornire, non perché non lo sappiamo fare, ma perché è nella natura delle cose che non esista. Infatti una funzione $C^infty$ può tranquillamente avere valori in $[0, 1]$ ma le derivate grandi a volontà (qualcosa come $e^(-n|x|)$ per intenderci).
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