Teorema di Liouville

[5mrkv]

Teo. Una funzione intera e limitata deve essere costante. Con $\gamma$ circonferenza centrata in $z$:

$|\frac{df(z)}{dz}|=|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z')}{{z'-z}^2}dz'|<=\frac{1}{2\pi}max_{z' \in \gamma}\frac{|f(z')|}{R^2}<=\frac{C}{R}$ etc

Io avrei scritto:

$|\frac{df(z)}{dz}|=|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z')}{{z'-z}^2}dz'|<=|\frac{1}{2\pi i}||\int_{\gamma}\frac{f(z')}{{z'-z}^2}dz'|<=\frac{1}{2\pi }|\int_{\gamma}\frac{f(z')}{{z'-z}^2}dz'|$
$<=frac{1}{2\pi}2\pi max_{z' \in \gamma}\frac{|f(z')|}{R^2}=max_{z' \in \gamma}\frac{|f(z')|}{R^2}$ etc...

Dove ho tilizzato il Darbux: $|\int_{\gamma} f(z)|<=L_{\gamma} max_{z\in \gamma}|f(z)|$

[Rigel1]

Mi sembra solo che tu abbia peggiorato la stima di un (ininfluente) fattore $2\pi$, o mi sono perso qualcos'altro?

[gugo82]

La lunghezza di una circonferenza è \(2\pi R\)... Quindi:
\[
\left| \int_\gamma \text{d} z\right| \leq 2\pi\ R\; .
\]

[5mrkv]

Correggo:

$...<=frac{1}{2\pi}(2\pi R) max_{z' \in \gamma}\frac{|f(z')|}{R^2}=max_{z' \in \gamma}\frac{|f(z')|}{R}$ etc...

Volevo solo sapere se è corretto, invece di imparare a memoria la prima catena di disuguaglianze.

[gugo82]

Ma infatti la prima disuguaglianza nella prima catena, i.e.:
\[
{\left|{\frac{{{1}}}{{{2}\pi{i}}}}\int_{{\gamma}}{\frac{{{f{{\left({z}'\right)}}}}}{{{{\left\lbrace{z}'-{z}\right\rbrace}}^{{2}}}}}{\left.{d}{z}\right.}'\right|}\le{\frac{{{1}}}{{{2}\pi}}}\max_{{{z}'\in\gamma}}{\frac{{{\left|{f{{\left({z}'\right)}}}\right|}}}{{{{R}}^{{2}}}}}
\]
è sbagliata.

[5mrkv]

Ah beh, lo farò notare al prof