Teorema di Lindelov(ff?)
Ciao!
la prof ci ha lasciato per esercizio di dimostrare il teorema di Lindelov(ff?) e vorrei verificarne la correttezza.
sia $AsubseteqRR$ un aperto, allora esiste una famiglia numerabili di intervalli aperti la cui unione coincide con $A$
dimostrazione
sappiamo che $forallx in A exists delta>0: (x-delta,x+delta) subseteqA$
data la densità di $QQ$ in $RR$ possiamo trovare due razionali $p,q$ per cui $x-delta
per l'assioma della scelta so che esistono due funzioni $f:A->QQ$ e $g:A->QQ$ con le proprietà che
a questo punto è ovvio che $f(A)$ e $g(A)$ siano numerabili e quindi considero
e quindi $A=bigcup_(i in NN)(f_i,g_i)$
Penso sia corretto e che la generalizzazione ad $RR^n$ sia piuttosto ovvia..
la prof ci ha lasciato per esercizio di dimostrare il teorema di Lindelov(ff?) e vorrei verificarne la correttezza.
sia $AsubseteqRR$ un aperto, allora esiste una famiglia numerabili di intervalli aperti la cui unione coincide con $A$
dimostrazione
sappiamo che $forallx in A exists delta>0: (x-delta,x+delta) subseteqA$
data la densità di $QQ$ in $RR$ possiamo trovare due razionali $p,q$ per cui $x-delta
per l'assioma della scelta so che esistono due funzioni $f:A->QQ$ e $g:A->QQ$ con le proprietà che
$forallx in A( x in (f(x),g(x))subseteqA)$
a questo punto è ovvio che $f(A)$ e $g(A)$ siano numerabili e quindi considero
$f(A)={f_i in QQ: i in NN}$ e $g(A)={g_i in QQ: i in NN}$
e quindi $A=bigcup_(i in NN)(f_i,g_i)$
Penso sia corretto e che la generalizzazione ad $RR^n$ sia piuttosto ovvia..
Risposte
Lindelöf.
se l'errore è solo questo, mi sto di piatto.
@arnett
Ancora non ho iniziato per bene topologia, non giudicarmi
[ot]quì in Sicilia, quando giochiamo a carte, indichiamo una puntata pari al piatto in questo modo. È un’esclamazione tipo ad indicare che vado dalla prof senza paure
[/ot]
Ancora non ho iniziato per bene topologia, non giudicarmi
[ot]quì in Sicilia, quando giochiamo a carte, indichiamo una puntata pari al piatto in questo modo. È un’esclamazione tipo ad indicare che vado dalla prof senza paure
[/ot]
"arnett":Ho pensato anch'io ad una cosa del genere, però è vero io ne capisco molto meno di @arnett
Non voglio darti un parere sulla dimostrazione (ad occhio mi sembra giusta, ma ne capisco molto meno di te e quindi non conta molto); ma io avrei dimostrato questa cosa in due righe usando semplicemente argomenti topologici, vorrei sapere se ti/vi sembra corretta. Ho il sospetto di metterla giù troppo facile.
$\RR$ nella topologia standard ammette come base la collezione numerabile di insiemi$\mathcal{B}={(a, b)|a< b \in\mathbb{Q}}$(Va mostrato ma sono due righe). Allora il generico aperto $A$ di $\RR$ si scrive come unione (a priori di cardinalità arbitraria) di elementi della base. Ma la base è numerabile quindi anche tale unione sarà al più numerabile. Con ovvia generalizzazione a $\RR^n$.
, interesserebbe anche a me sapere se fosse corretta (più che altro ho l'impressione che si possa fare anche senza l'AC)!
Il "vero" teorema di Lindeloff è in realtà un altro, di natura topologica, che dice che se uno spazio topologico ammette una base numerabile, allora ogni ricoprimento aperto dello spazio ammette un sottoricoprimento al più numerabile.
Il teorema che hai enunciato è noto di solito come teorema di Cantor e in realtà vale in situazioni più generali (per esempio spazi topologici separabili e localmente convessi).
Per quanto riguarda la dimostrazione che hai fatto tu è inutilmente complicata come tuo solito, ma è corretta, anche se non capisco esattamente come avresti intenzione di generalizzarla ad $RR^n$, dato che hai usato abbastanza l'ordinamento di $RR$.
La dimostrazione di arnett invece è molto semplice ed elegante, che si generalizza anche naturalmente a $RR^n$.
Il teorema che hai enunciato è noto di solito come teorema di Cantor e in realtà vale in situazioni più generali (per esempio spazi topologici separabili e localmente convessi).
Per quanto riguarda la dimostrazione che hai fatto tu è inutilmente complicata come tuo solito, ma è corretta, anche se non capisco esattamente come avresti intenzione di generalizzarla ad $RR^n$, dato che hai usato abbastanza l'ordinamento di $RR$.
La dimostrazione di arnett invece è molto semplice ed elegante, che si generalizza anche naturalmente a $RR^n$.
È la prima cosa che mi è venuta in mente mentre stavo cenando e ho buttato giù l’idea.
Non penso di essermi complicato la vita per una dimostrazione partorita in 2-3 minuti.
Comunque per generalizzarla intendevo considerare che ogni palla aperta contenesse un intervallo $n-$dimensionale: fine.
[ot]topologia voglio farla per bene, non mentre faccio altre materie. Datemi tempo[/ot]
Non penso di essermi complicato la vita per una dimostrazione partorita in 2-3 minuti.
Comunque per generalizzarla intendevo considerare che ogni palla aperta contenesse un intervallo $n-$dimensionale: fine.
[ot]topologia voglio farla per bene, non mentre faccio altre materie. Datemi tempo[/ot]
@arnett
Infatti la prof è proprio di analisi
Infatti la prof è proprio di analisi
"anto_zoolander":
topologia voglio farla per bene, non mentre faccio altre materie. Datemi tempo
Non vedo l'ora.
Antipatico
Riflettendoci a posteriori mi sono accorto che magari non si capiva dalla scrittura quale tono intendessi, ma io dicevo sul serio.
Comunque la cosa interessante in \(\mathbb R\) è dimostrare che ogni aperto si può decomporre in una unione numerabile di intervalli disgiunti. (La versione \(\mathbb R^n\) è più complicata).
"dissonance":
Comunque la cosa interessante in \(\mathbb R\) è dimostrare che ogni aperto si può decomporre in una unione numerabile di intervalli disgiunti. (La versione \(\mathbb R^n\) è più complicata).
Ne parlammo anni fa.
[ot]Ma guarda un po'! Non me lo ricordavo prima di averlo rivisto. 
[/ot]
[/ot]
"dissonance":
[ot]Ma guarda un po'! Non me lo ricordavo prima di averlo rivisto.
[ot]Siamo qui da così tanti anni, che pure a ricordarsi tutti gli argomenti cui abbiamo partecipato si fa fatica...
[/ot]
A me sinceramente non sembra molto più complicato, se uno la vede nel modo giusto è praticamente la stessa dimostrazione. Tra l'altro non mi ero accorto che non ci fosse scritto disgiunto, pensavo ci fosse.
@disso,delirium,otta
Io lo farei così su $RR$ ne posto un accenno che devo andare via in fretta e se l'idea dovesse essere corretta la formalizzerò meglio
Io lo farei così su $RR$ ne posto un accenno che devo andare via in fretta e se l'idea dovesse essere corretta la formalizzerò meglio
@otta e anto
[ot]
Questa è evidentemente una minaccia
Ho visto però dalla sezione "Leggiti questo" che la stai iniziando davvero topologia. E questo significa, per rifarmi ad una vecchia discussione tra me e otta, che non sono l'unico che ha fatto prima TdM e poi topologia![/ot]
[ot]
"otta96":
[...]Non vedo l'ora.
Questa è evidentemente una minaccia
Ho visto però dalla sezione "Leggiti questo" che la stai iniziando davvero topologia. E questo significa, per rifarmi ad una vecchia discussione tra me e otta, che non sono l'unico che ha fatto prima TdM e poi topologia![/ot]
@bremen,otta
[ot]Non nego che con il senno di poi, avrei preferito iniziare prima con topologia.
Provo una certa attrazione mentale verso la topologia, quindi voglio farla bene bene: anche perché il mio desiderio maggiore sarebbe di diventare esperto in geometria differenziale[/ot]
[ot]Non nego che con il senno di poi, avrei preferito iniziare prima con topologia.
Provo una certa attrazione mentale verso la topologia, quindi voglio farla bene bene: anche perché il mio desiderio maggiore sarebbe di diventare esperto in geometria differenziale[/ot]
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