Teorema di Leibniz II
Cerco la dimostrazione completa del Teorema di Leibniz II. Non ho trovato approfondimenti al riguardo.
TEOREMA
Enunciato:
Sia $\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n a_n$ una serie numerica alternante. Supponiamo che $a_(n+1) > a_n >0$ $AA n in NN$. Allora la serie è oscillante e infinitamente grande.
TEOREMA
Enunciato:
Sia $\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n a_n$ una serie numerica alternante. Supponiamo che $a_(n+1) > a_n >0$ $AA n in NN$. Allora la serie è oscillante e infinitamente grande.
Risposte
Non l'avevo mai visto questo risultato.
D'altra parte, se è vero, credo si dimostri ragionando come per dimostrare il Criterio di Leibniz classico, cioè considerando le somme parziali d'indice dispari e quella d'indice pari.
Prova.
D'altra parte, se è vero, credo si dimostri ragionando come per dimostrare il Criterio di Leibniz classico, cioè considerando le somme parziali d'indice dispari e quella d'indice pari.
Prova.
Ho provato a dimostrare il teorema, approfondendo vari argomenti e confrontandolo con il primo teorema di Leibniz. Sono arrivato ad una conclusione, credo sia corretta. Si dovrebbe modificare qualcosa? Grazie.
DIMOSTRAZIONE
Inizio a studiare le varie successioni delle somme parziali, sia di posto pari che di posto dispari.
Studio la successione delle somme parziali di posto pari.
$S_(2n+2) - S_(2n) = a_(2n+2) - a_(2n+1) > 0$ ; $S_(2n+2) > S_(2n)$
Quindi ${S_(2n)}$ è crescente.
Studio la successione delle somme parziali di posto dispari.
$S_(2n+1) - S_(2n-1) = -a_(2n+1) + a_(2n) < 0$ ; $S_(2n+1) < S_(2n-1)$
ovvero ${S_(2n+1)}$ è descrescente.
Le due estratte sono divergenti a $+infty$ e a $-infty$ rispettivamente
$...<=S_(2n-1)<=...<=S_3<=S_1<=S_2<=S_4<=...<=S_(2n)<=...$
da cui la tesi.
DIMOSTRAZIONE
Inizio a studiare le varie successioni delle somme parziali, sia di posto pari che di posto dispari.
Studio la successione delle somme parziali di posto pari.
$S_(2n+2) - S_(2n) = a_(2n+2) - a_(2n+1) > 0$ ; $S_(2n+2) > S_(2n)$
Quindi ${S_(2n)}$ è crescente.
Studio la successione delle somme parziali di posto dispari.
$S_(2n+1) - S_(2n-1) = -a_(2n+1) + a_(2n) < 0$ ; $S_(2n+1) < S_(2n-1)$
ovvero ${S_(2n+1)}$ è descrescente.
Le due estratte sono divergenti a $+infty$ e a $-infty$ rispettivamente
$...<=S_(2n-1)<=...<=S_3<=S_1<=S_2<=S_4<=...<=S_(2n)<=...$
da cui la tesi.
Il problema è: perché quelle due successioni lì sono divergenti?
Non mi pare che la divergenza segua dalle ipotesi...
Ed infatti non lo fa.
Prendi $a_n:=1 - 1/2^n$, che è una successione positiva e crescente, e considera $sum (-1)^n a_n$.
Dette $s_n$ le somme parziali di tale serie e $sigma_n$ le somme parziali della serie geometrica di ragione $-1/2$, hai:
\[
s_n = \begin{cases}
1 - \sigma_n &\text{, se $n$ è pari}\\
-\sigma_n &\text{, se $n$ è dispari}
\end{cases}
\]
e, visto che $sigma_n$ converge, $s_n$ è limitata.
Non mi pare che la divergenza segua dalle ipotesi...
Ed infatti non lo fa.
Prendi $a_n:=1 - 1/2^n$, che è una successione positiva e crescente, e considera $sum (-1)^n a_n$.
Dette $s_n$ le somme parziali di tale serie e $sigma_n$ le somme parziali della serie geometrica di ragione $-1/2$, hai:
\[
s_n = \begin{cases}
1 - \sigma_n &\text{, se $n$ è pari}\\
-\sigma_n &\text{, se $n$ è dispari}
\end{cases}
\]
e, visto che $sigma_n$ converge, $s_n$ è limitata.
Quindi la dimostrazione è sbagliata o incompleta? Devo aggiungere questo passaggio? Il fatto è che ho provato io a dimostrare il teorema. Una traccia o una dimostrazione già svolta non l'ho trovata. Solo qualcosa di simile a quello che avevo scritto.
"gugo82":
[...] Prendi $a_n:=1+1/2^n$, che è una successione positiva e crescente [...]
Crescente?
Ho sbagliato il segno... Conto fatto a volo in treno. 
Ho modificato ciò che era da modificare.
@alb23:
Il controesempio che ho postato ti mostra che il "teorema" che vuoi dimostrare è falso. Quindi il problema non risiede nella dimostrazione, completa o incompleta, ma nelle ipotesi, che sono troppo poche e non consentono di ottenere il risultato.
Sei sicuro delle ipotesi?
Da dove le hai prese? (Tu stesso dici che non hai trovato questa cosa su un libro... Quindi dove?)
Non è che hai tralasciato di scrivere qualche ipotesi nell'OP? (Tipo $a_n -> +oo$, ad esempio...)
Ho modificato ciò che era da modificare.
@alb23:
"alb23":
Quindi la dimostrazione è sbagliata o incompleta? Devo aggiungere questo passaggio? Il fatto è che ho provato io a dimostrare il teorema. Una traccia o una dimostrazione già svolta non l'ho trovata. Solo qualcosa di simile a quello che avevo scritto.
Il controesempio che ho postato ti mostra che il "teorema" che vuoi dimostrare è falso. Quindi il problema non risiede nella dimostrazione, completa o incompleta, ma nelle ipotesi, che sono troppo poche e non consentono di ottenere il risultato.
Sei sicuro delle ipotesi?
Da dove le hai prese? (Tu stesso dici che non hai trovato questa cosa su un libro... Quindi dove?)
Non è che hai tralasciato di scrivere qualche ipotesi nell'OP? (Tipo $a_n -> +oo$, ad esempio...)
L'enunciato del teorema di Leibniz II è corretto, come scritto nel libro di Analisi I che utilizzo per studiare e consigliato dal prof. Non sono riuscito a trovare una dimostrazione per questo teorema, sto provando a dimostrarlo io. Nel libro è presente l'enunciato che ho scritto precedentemente e una breve dimostrazione:
DIMOSTRAZIONE
Si procede come nel Teorema di Leibniz I tranne che per il tipo di monotonia delle due successioni. Stavolta ${S_(2n)}$ è crescente mentre ${S_(2n+1)}$ decrescente. Da ciò segue che le due estratte sono divergenti a $-infty$ e $+infty$ rispettivamente.
La dimostrazione che ho scritto prima l'ho fatta seguendo questa dicitura. Cercavo una dimostrazione completa per confrontarla ed esserne sicuro che sia corretta.
DIMOSTRAZIONE
Si procede come nel Teorema di Leibniz I tranne che per il tipo di monotonia delle due successioni. Stavolta ${S_(2n)}$ è crescente mentre ${S_(2n+1)}$ decrescente. Da ciò segue che le due estratte sono divergenti a $-infty$ e $+infty$ rispettivamente.
La dimostrazione che ho scritto prima l'ho fatta seguendo questa dicitura. Cercavo una dimostrazione completa per confrontarla ed esserne sicuro che sia corretta.
Che libro è?
Analisi matematica uno (seconda edizione)
G. Di Fazio - P. Zamboni
G. Di Fazio - P. Zamboni
Si tratta di un errore, a mio avviso.
Prova a parlarne al docente.
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