Teorema di lebesgue e funzione massimale

[dustofstar]

ciao a tutti.. Ho un problema:
devo dimostrare che.. data f funzione misurabile di $R^n$, sia $Mf$ la sua funzione massimale, allora
$||f||_oo<=||Mf||_oo$
Dovrei usare il teorema di differenziazione di Lebesgue.. ma come??

[gugo82]

Visto che non tutti sanno di cosa parli, ti spiacerebbe definire almeno l'oggetto del dubbio?

E poi, cosa hai pensato di usare nella dimostrazione?
Dopotutto, visto che stai studiando, potresti almeno accennare a qualche prova che hai fatto...


P.S.: Ma ricordo male io, oppure era [tex]||Mf||_\infty \leq ||f||_\infty[/tex] (ed in generale [tex]||Mf||_p \leq C_p\cdot ||f||_p[/tex] con [tex]C_p>0[/tex])?
Non che mi intenda di queste cose, ma una mezza volta mi sono passate sotto mano...

[dustofstar]

Ciao.. scusa..effettivamente forse sono stata un po' affrettata nel descrivere il problema.. cmq ho risolto...
In generale e' sempre vero che $||Mf||_oo<=||f||_oo$ ma.. poiche' f e' misurabile di ||R^n|| allora f e' localmente integrabile, e quindi posso usare il th di differenz di Lebesgue che mi dice che per una funz localmente integrabile
$||f||_oo=lim_{r\to\0}1/(|B(x,r)|) \int_{|B(x,r)|}|f(t)|dt$ che sara' sicuramente
$<=Sup _{r\to\0}1/(|B(x,r)|) \int_{|B(x,r)|}|f(t)|dt = Mf < ||Mf||_oo$

[gugo82]

Al posto di [tex]||f||_\infty[/tex] al primo membro va [tex]|f(x)|[/tex] e la prima uguaglianza vale per q.o. [tex]x\in \mathbb{R}^n[/tex]; quindi la catena di disuguaglianze corretta è:

[tex]$|f(x)|=\lim_{r\to 0^+} \frac{1}{|B(x;r)|} \; \int_{B(x;r)} |f(t)|\text{ d}t \leq \sup_{r>0} \frac{1}{|B(x;r)|} \; \int_{B(x;r)} |f(t)|\text{ d}t =\mathcal{M}f(x) \quad \text{ per q.o. } x\in \mathbb{R}^n$[/tex].

Valendo tale relazione tra [tex]|f(x)|[/tex] ed [tex]\mathcal{M}f(x)[/tex], si ha in ogni caso:

[tex]||f||_\infty\leq ||\mathcal{M}f||_\infty[/tex].

Divertente.