Teorema di Lagrange "al contrario"
Buongiorno a tutti,
mi stavo chiedendo se fosse possibile dimostrare questa proposizione:
$f : (0,1) to R $ derivabile$ rArr AA c in (0,1), EE x,y in (0,1) : f'(c) = (f(x)-f(y))/(x-y)$
In realtà, non so per certo nemmeno se sia vera, ma mi pare molto plausibile.
Ho pensato di partizionare l'intervallo in tanti intervalli più piccoli e usare il teorema di Lagrange su ogni partizione per dimostrare che esista c, poi per induzione dimostrare che questo valga comunque scelte le partizioni. A questo punto però non saprei come dimostrare che valga per ogni c in (0,1).
Ho provato anche per assurdo, ma senza riuscire a dedurre nulla di particolare.
Chiedo quindi se qualcuno riesca a darmi una dimostrazione del perché questa proposizione valga o meno, o anche solo un input.
Grazie
mi stavo chiedendo se fosse possibile dimostrare questa proposizione:
$f : (0,1) to R $ derivabile$ rArr AA c in (0,1), EE x,y in (0,1) : f'(c) = (f(x)-f(y))/(x-y)$
In realtà, non so per certo nemmeno se sia vera, ma mi pare molto plausibile.
Ho pensato di partizionare l'intervallo in tanti intervalli più piccoli e usare il teorema di Lagrange su ogni partizione per dimostrare che esista c, poi per induzione dimostrare che questo valga comunque scelte le partizioni. A questo punto però non saprei come dimostrare che valga per ogni c in (0,1).
Ho provato anche per assurdo, ma senza riuscire a dedurre nulla di particolare.
Chiedo quindi se qualcuno riesca a darmi una dimostrazione del perché questa proposizione valga o meno, o anche solo un input.
Grazie
Risposte
Scusate, ho risolto semplicemente isolando la derivata in un punto dalla formula della tangente in quel punto.
Come che hai fatto di preciso se posso sapere? Sono curioso.
Anche io sono curioso.
Sono curioso pure io. Se hai voglia posta il tuo ragionamento.
Allora io ho fatto così (mi sembra corretto), generalizzando il dominio.
Sia f una funzione derivabile in tutto il suo dominio A. Allora,
$AA x_0 in A, AA x in A, f(x) = f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0) \therefore AA x_0 in A, AA x in A \backslash {x_0}, f'(x_0) = (f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$
Qui $f'(x_0)$ è in funzione della sola $x_0$, non anche di $x$, quindi è una semplice funzione in una variabile, in cui il parametro $x$ può assumere qualsiasi valore, tranne ovviamente $x_0$.
In pratica la "$x$" del dominio di $f$ è la "$x_0$" del dominio di $f'$.
Sia f una funzione derivabile in tutto il suo dominio A. Allora,
$AA x_0 in A, AA x in A, f(x) = f'(x_0) (x - x_0) + f(x_0) \therefore AA x_0 in A, AA x in A \backslash {x_0}, f'(x_0) = (f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$
Qui $f'(x_0)$ è in funzione della sola $x_0$, non anche di $x$, quindi è una semplice funzione in una variabile, in cui il parametro $x$ può assumere qualsiasi valore, tranne ovviamente $x_0$.
In pratica la "$x$" del dominio di $f$ è la "$x_0$" del dominio di $f'$.
$c=0$ non è previsto dal suo enunciato.
Effettivamente per quello non c'è una soluzione. Nel ragionamento che ho fatto nell'ultimo messaggio, comunque, ho posto $x \ne x_0$, quindi il problema non si pone. Credo che tralaltro il problema non si ponga in generale, perché in situazioni come questa penso che si verifichi sempre $x = x_0$, ma sarebbe da dimostrare.
In realtà, anche nel primo messaggio avrei dovuto precisare il dominio (il denominatore non deve annullarsi), quindi mi scuso; lì questo sarebbe stato un problema, come hai evidenziato, perché $c$ non compare anche a destra.
In realtà, anche nel primo messaggio avrei dovuto precisare il dominio (il denominatore non deve annullarsi), quindi mi scuso; lì questo sarebbe stato un problema, come hai evidenziato, perché $c$ non compare anche a destra.
In effetti ora che ho riguardato l'enunciato originale, $0$ e $1$ non sono compresi nell'enunciato iniziale, che sono i punti in cui effettivamente avrei dei problemi, considerando $f(x) = x^3$
No, ma
\[
f(x)=(x-\frac12)^3, \]
e \(c=\frac12\) sono previsti, e sono un controesempio all'enunciato così com'è (nota: nell'enunciato, anche se non specificato, deve essere \(x\ne y\), necessario affinché non si annulli il denominatore in \(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\)). Quindi, l'enunciato è falso. Non so se si possa recuperare richiedendo che \(f'(c)\ne 0\).
\[
f(x)=(x-\frac12)^3, \]
e \(c=\frac12\) sono previsti, e sono un controesempio all'enunciato così com'è (nota: nell'enunciato, anche se non specificato, deve essere \(x\ne y\), necessario affinché non si annulli il denominatore in \(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\)). Quindi, l'enunciato è falso. Non so se si possa recuperare richiedendo che \(f'(c)\ne 0\).
Mi pare di no perché si può sempre aggiungere $x$.
@Ojd2000: c'è un errore, quando dici
questo non è vero. Diventa vero se ci aggiungi il resto, ad esempio sotto forma di o-piccolo:
\[
f(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) + o(x-x_0). \]
Ed è proprio quell'o-piccolo che ti frega, perché l'equazione a cui giungi diviene ora
\[
f'(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + o(1).\]
Non è ovvio che si possa risolvere esattamente.
Comunque hai fatto benissimo a proporre il problema. È una riflessione interessante.
\[
f(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \]
questo non è vero. Diventa vero se ci aggiungi il resto, ad esempio sotto forma di o-piccolo:
\[
f(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) + o(x-x_0). \]
Ed è proprio quell'o-piccolo che ti frega, perché l'equazione a cui giungi diviene ora
\[
f'(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + o(1).\]
Non è ovvio che si possa risolvere esattamente.
Comunque hai fatto benissimo a proporre il problema. È una riflessione interessante.
Giusto! Hai ragione. Ho sperato fosse così semplice!
Grazie per la correzione
Grazie per la correzione
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