Teorema di Lagrange: dubbi su dimostrazione
Considero una funzione $g: [a,b] \to RR$ che posso definire come $g(x) = f(x) - (f(a)+ ((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a))$ ( sottraggo ad una funzione $f(x)$ l'equazione della retta secante passante per $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$. $g$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ quindi $g'(x) = f'(x) - ((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a))$. In più, $g(a) = g (b) = 0$ (*) (Perchè questo passaggio?).
Per concludere dobbiamo dimostrare che esiste un punto stazionario di $g$. Ricordiamo che $g$ è continua in $[a,b]$ e quindi ammette per il teorema di Weierstrass massimo e minimo assoluti "per $f$" ( Questo per "$f$" non l'ho capito...) tali che esistono $x1$ e $x2$ appartenenti a $[a,b]$ tali che $m=g(x1)<=g(x)<=g(x2)=M$ per ogni $x$ appartenente a $[a,b]$.
Ora:
1 caso ) supponiamo $x1$ e $x2$ coincidano entrambi con uno dei due estremi dell'intervallo ( non posso dire $x1=a$ e $x2=b$ perchè giustamente non so chi viene prima diciamo...). Risulta per la (*) che $m=M=0$ cioè "$f(x) = 0$ in $[a,b]$ e dunque $g'(x)=0$ per ogni $x$ appartenente a $(a,b)$" (Non mi è chiaro...). []
2 caso) $x1$ e $x2$ appartengono entrambi in $(a,b)$ per il teorema di Fermat essendo $x1$ min assoluto e $x2$ max assoluto risulta che entrambi sono punti stazionari per $g$ (Neanche questo...) . []
Per favore, illuminatemi...
Per concludere dobbiamo dimostrare che esiste un punto stazionario di $g$. Ricordiamo che $g$ è continua in $[a,b]$ e quindi ammette per il teorema di Weierstrass massimo e minimo assoluti "per $f$" ( Questo per "$f$" non l'ho capito...) tali che esistono $x1$ e $x2$ appartenenti a $[a,b]$ tali che $m=g(x1)<=g(x)<=g(x2)=M$ per ogni $x$ appartenente a $[a,b]$.
Ora:
1 caso ) supponiamo $x1$ e $x2$ coincidano entrambi con uno dei due estremi dell'intervallo ( non posso dire $x1=a$ e $x2=b$ perchè giustamente non so chi viene prima diciamo...). Risulta per la (*) che $m=M=0$ cioè "$f(x) = 0$ in $[a,b]$ e dunque $g'(x)=0$ per ogni $x$ appartenente a $(a,b)$" (Non mi è chiaro...). []
2 caso) $x1$ e $x2$ appartengono entrambi in $(a,b)$ per il teorema di Fermat essendo $x1$ min assoluto e $x2$ max assoluto risulta che entrambi sono punti stazionari per $g$ (Neanche questo...) . []
Per favore, illuminatemi...
Risposte
Potresti scrivere l'enunciato del teorema?
Ho l'impressione che si voglia utilizzare il teorema di Rolle. Inoltre, c'è un errore nel calcolo iniziale della derivata.
sì infatti ho sbagliato a scrivere la derivata scusatemi $g'(x) = f'(x) - ((f(b)-f(a))/(b-a))$ . L'enunciato è: sia $f:[a,b]->R$ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ . Allora esiste un punto $c$ appartenente a $(a,b)$ tale che $f'(c) = ((f(b)-f(a))/(b-a))$
E allora vai con Rolle! 
Come dice speculor, se conosci il teorema di Rolle ti risparmi quella pappardella di dimostrazione. Infatti, l'ultima parte della dimostrazione che hai scritto è proprio la dimostrazione del teorema di Rolle
Se conosci il teorema di Cauchy, la dimostrazione del teorema di Lagrange si scrive in mezza riga come banale corollario.
Sì ma non riesco a capire quei punti che vi ho indicato 
Il prof l'ha fatta troppo complicata
Il prof l'ha fatta troppo complicata
Mi arrendo. 
Ora mi guardo Rolle e Cauchy e vedo di uscirne fuori 
casomai qualcosa vi scrivo
casomai qualcosa vi scrivo
$g(x) = f(x) - (f(a)+ ((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a))$
L'obiettivo è dimostrare che $g(x)$ soddifa le ipotesi del teorema di Rolle, cioè le seguenti:
1) $g$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ (e questo lo è banalmente, in quanto lo è $f$)
2) $g(a)=g(b)$ (e questo è vero; anzi sai anche che valgono entrambi $0$)
Il teorema di Rolle asserisce che sotto questi ipotesi appena scritte, $EE c in (a,b)$ tale che $g'(c)=0$
Noi sappiamo che $g'(x) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a)$. Quindi sappiamo che $EE c in (a,b)$ tale che $0=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)$, ovvero
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
Rimane da dimostrare Rolle
Qui c'è la dimostrazione. Come noterai, è molto simile a ciò che hai scritto tu all'inizio.
L'obiettivo è dimostrare che $g(x)$ soddifa le ipotesi del teorema di Rolle, cioè le seguenti:
1) $g$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ (e questo lo è banalmente, in quanto lo è $f$)
2) $g(a)=g(b)$ (e questo è vero; anzi sai anche che valgono entrambi $0$)
Il teorema di Rolle asserisce che sotto questi ipotesi appena scritte, $EE c in (a,b)$ tale che $g'(c)=0$
Noi sappiamo che $g'(x) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a)$. Quindi sappiamo che $EE c in (a,b)$ tale che $0=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)$, ovvero
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
Rimane da dimostrare Rolle
Qui c'è la dimostrazione. Come noterai, è molto simile a ciò che hai scritto tu all'inizio.
scusate io non ho capito solo il primo passaggio, perchè si considera la funzione $g(x)$ che è data dalla differenza tra la funzione data $f(x)$ e la (solita) retta secante il suo grafico negli estremi dell'intervallo in cui è definita? Cioè, so che $g(x)$ rappresenta la distanza verticale tra il punto $(x,f(x))$ del grafico della funzione e la retta secante, ma non ho capito cosa c'entra, perchè serve per la dimostrazione..
Si sceglie la funzione $g$ fatta in quel modo per nostra comodità. E' una funzione ausiliaria.
per dimostrare il teorema di Lagrange mi basta dimostrare che $EE c in (a,b)$ tale che $g'(c)=0$,
cosa notevolmente più semplice.
"Teorema di Lagrange":Se prendo $g(x) = f(x) - (f(a)+ ((f(b)-f(a))/(b-a))(x-a))$ ,
Sia $f: [a,b]->RR$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Allora $EE c in (a,b)$ tale che $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$
per dimostrare il teorema di Lagrange mi basta dimostrare che $EE c in (a,b)$ tale che $g'(c)=0$,
cosa notevolmente più semplice.
Grazie 
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