Teorema di Lagrange

[anto_zoolander]

Salve

scusate se ogni post che metto comprende un teorema ma sono le cose che tengo a capire

C'è un passaggio che mi stona, e lo vorrei(se possibile) chiarito.

prendiamo $f$ tale che sia continua su $[a,b]$ e derivabile su $]a,b[$

il mio libro, comincia la dimostrazione ponendo questa uguaglianza

$F(x)=f(x)-kx,kinRR$

la funzione ovviamente è continua e derivabile poiché somma di funzioni continue e derivabili
ed è già quì la cosa che mi stona:

determiniamo $k$ in modo tale che soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle
ovvero $F(a)=F(b)$

$f(a)-ka=f(b)-kb <=> k=(f(b)-f(a))/(b-a)$

determinando così $k$ in poche parole, deve esistere $f'(c)=0$ nonché la tesi del teorema di Rolle

ma in questo modo la dimostrazione richiede il passaggio per una funzione che negli estremi abbia la stessa immagine.

poi ovviamente si arriva alla tesi continuando:

$F'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 <=> f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$ che è la tesi del teorema di Lagrange

il problema è che non mi capacito del fatto che si debba passare per una funzione che ammetta un punto estremante.

Potete delucidarmi?

Io(penso) di dovermi concentrare maggiormente, più che su $F(x)$, su $f(x)-kx$ e quindi

$F(x)$ ammette sicuramente un punto estremante, mentre $f(x)$ ammette un punto tale per cui $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$

la potrei guardare come $f(x)=F(x)+(f(b)-f(a))/(b-a)x <=> f'(x)=F'(x)+(f(b)-f(a))/(b-a)$

come abbiamo detto per $F(x)$ il punto $c$ è estremante, quindi $F'(c)=0$ e $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$

...

[quantunquemente]

la questione è semplice :
con le ipotesi fatte su $f(x)$,la funzione
$F(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)(x-a)$
soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle
Quindi esiste $cin(a,b):F'(c)=0$
ma,$F'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)$,da cui la tesi

[anto_zoolander]

Intanto grazie per la risposta

poi.. quindi sarebbe:

$F'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a) <=> f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$

ovvero che $F'(c)$ ammette un punto stremante se e solo se la funzione $f'(c)$ verifica la tesi di Lagrange.

corretto?

[quantunquemente]

non la metterei in questi termini : la $F(x)$ è una funzione ausiliare ,cioè è costruita allo scopo di arrivare alla tesi che riguarda $f(x)$
il fatto che $F'(c)=0$ ci interessa solo perchè ciò equivale a dire che $f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$