Teorema di Lagrange
Salve a tutti,
non riesco a trovare la dimostrazione del seguente Teorema di Lagrange:
Siano date $f$, $F$ due funzioni di classe $C^1$ in $n+h$ variabili definite in un aperto $A$ di $R^(n+h)$. E sia $Z_0$
l'insieme dei punti $(x,y)$ in $A$ verificanti le equazioni $F_1(x_1,x_2......,x_n,y_1,y_2,.........y_h)=0$, e tale che la matrice jacobiana abbia caratteristica $h$. Diremo che $f$ ha un punto di minimo relativo vincolato, nel punto $x_0,y_0)$ di $Z_0$ se esiste un intorno $I_0$ di tale punto tale che, per ogni $(x,y) in Z_0 I_o$, risulti $f(x,y) >= f(x_0,y_0)$
Non sono riuscito a trovare sul web una sola versione di questo teorema, men che meno la sua dimostrazione.
Avete qualche link ?, magari anche se esistono diverse dimostrazioni di questo risultato.
Grazie in anticipo
Emanuele
non riesco a trovare la dimostrazione del seguente Teorema di Lagrange:
Siano date $f$, $F$ due funzioni di classe $C^1$ in $n+h$ variabili definite in un aperto $A$ di $R^(n+h)$. E sia $Z_0$
l'insieme dei punti $(x,y)$ in $A$ verificanti le equazioni $F_1(x_1,x_2......,x_n,y_1,y_2,.........y_h)=0$, e tale che la matrice jacobiana abbia caratteristica $h$. Diremo che $f$ ha un punto di minimo relativo vincolato, nel punto $x_0,y_0)$ di $Z_0$ se esiste un intorno $I_0$ di tale punto tale che, per ogni $(x,y) in Z_0 I_o$, risulti $f(x,y) >= f(x_0,y_0)$
Non sono riuscito a trovare sul web una sola versione di questo teorema, men che meno la sua dimostrazione.
Avete qualche link ?, magari anche se esistono diverse dimostrazioni di questo risultato.
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
Ho l'impressione che in quello che tu consideri un teorema ci sia una parte della definizione di punto di massimo (minimo) vincolato e una parte del teorema sui massimi e minimi vincolati. Mettiamo ordine:
Def Sia $ AsubeRR^n $ aperto e $ f:ArarrRR $. Sia $ F:ArarrRR^m $ dove m
Diciamo che un punto $x_0\inA $ e' un punto di minimo (massimo) condizionato o vincolato per f, con le condizioni o vincoli $ F(x)=0 $, se $ x_0inE $ e $ x_0 $ e' un punto di minimo (massimo) per la restrizione di f a E.
In altri termini $ x_0inA $ e' un punto di minimo (massimo) condizionato se esiste un intorno U di $ x_0 $ tale che $ AAx\inEnnU $ risulta $ f(x_0)<=f(x) $ (rispettivamente $ f(x_0)>=f(x) $.
Th Sia $ AsubRR^n $ aperto e $ f:ArarrRR $ di classe $ C^1 $ su A. Sia $ F:ArarrRR^m $ ove m
$ (delf)/(delx_i)(x)=sum_(j=1)^mlambda_j(delF_j)/(delx_i)(x)" " i=1,...,n $
$ F(x)=0 $
Def Sia $ AsubeRR^n $ aperto e $ f:ArarrRR $. Sia $ F:ArarrRR^m $ dove m
Diciamo che un punto $x_0\inA $ e' un punto di minimo (massimo) condizionato o vincolato per f, con le condizioni o vincoli $ F(x)=0 $, se $ x_0inE $ e $ x_0 $ e' un punto di minimo (massimo) per la restrizione di f a E.
In altri termini $ x_0inA $ e' un punto di minimo (massimo) condizionato se esiste un intorno U di $ x_0 $ tale che $ AAx\inEnnU $ risulta $ f(x_0)<=f(x) $ (rispettivamente $ f(x_0)>=f(x) $.
Th Sia $ AsubRR^n $ aperto e $ f:ArarrRR $ di classe $ C^1 $ su A. Sia $ F:ArarrRR^m $ ove m
$ (delf)/(delx_i)(x)=sum_(j=1)^mlambda_j(delF_j)/(delx_i)(x)" " i=1,...,n $
$ F(x)=0 $
Intanto ti ringrazio per il contributo.
Leggendo meglio il teorema da te citato, in realtà si da per acquisita l'esistenza di un punto estremante. Io invece mi riferisco ad un "celebre" (così lo definisce il libro) teorema di Lagrange che ci assicura la condizione necessaria affinche un punto $x^0$ sia di minimo per il problema: $min f(x)$; $x in R$ simbolo che non capisco (due linee di uguale e sopra un triangolo) ${x in R^n : F(x) = 0}$
Non capisco perchè non si trovi facilmente tale teorema sul web, che non è da confondersi con quello dei moltiplicatori, visto che semmai li usa e quindi il teorema sui moltiplicatori di lagrange potrebbe essere utilizzato in tale dimostrazione.
Non so questo teorema in due libri diversi lo propone come Teorema di Lagrange ma quando lo cerco sul web mi da sempre lo stesso risultato riferibile a quello di analisi 1.
Leggendo meglio il teorema da te citato, in realtà si da per acquisita l'esistenza di un punto estremante. Io invece mi riferisco ad un "celebre" (così lo definisce il libro) teorema di Lagrange che ci assicura la condizione necessaria affinche un punto $x^0$ sia di minimo per il problema: $min f(x)$; $x in R$ simbolo che non capisco (due linee di uguale e sopra un triangolo) ${x in R^n : F(x) = 0}$
Non capisco perchè non si trovi facilmente tale teorema sul web, che non è da confondersi con quello dei moltiplicatori, visto che semmai li usa e quindi il teorema sui moltiplicatori di lagrange potrebbe essere utilizzato in tale dimostrazione.
Non so questo teorema in due libri diversi lo propone come Teorema di Lagrange ma quando lo cerco sul web mi da sempre lo stesso risultato riferibile a quello di analisi 1.
Prova a guardare da pag7 seguenti la parte intitolata "i moltiplicatori di Lagrange" di questa dispensa, c'e' un teoremino di mezzo tra la def e il teorema dei moltiplicatori:
http://www.math.unipd.it/~marson/didatt ... incoli.pdf
Comunque condizione necessaria per un estremo vincolato vuol dire che se x e' un estremo vincolato allora vale una certa condizione. Invece l'affermazione " data una certa condizione il punto x e' un estremo vincolato" e' condizione sufficiente...
Esempio per le serie: Se $ sum_(n=0)^(+oo)a_n $ converge allora $a_nrarr0 $ per $ nrarr+oo $ e' una condizione necessaria (non sufficiente)...
http://www.math.unipd.it/~marson/didatt ... incoli.pdf
Comunque condizione necessaria per un estremo vincolato vuol dire che se x e' un estremo vincolato allora vale una certa condizione. Invece l'affermazione " data una certa condizione il punto x e' un estremo vincolato" e' condizione sufficiente...
Esempio per le serie: Se $ sum_(n=0)^(+oo)a_n $ converge allora $a_nrarr0 $ per $ nrarr+oo $ e' una condizione necessaria (non sufficiente)...
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