Teorema di integrazione per sostituzione e sue applicazioni

jack ishimaura
Salve, ho un dubbio a cui sto pensando da tempo ormai e vorrei rimediare .
Riguarda il cosiddetto metodo urang-tang , utilizzato per esempio in fisica per ricavare diverse cose .
Un esempio potrebbe essere il teorema che collega l'impulso e la quantità di moto :
all'inizio della dimostrazione si ha $F = (dp)/(dt)$ , poi si usa appunto l'"urang- tang" : "separazione variabili" $ dp = Fdt$ ,si integra $\int_{p1}^{p2} dp = \int_{t1}^{t2} Fdt $ etc...
La mia domanda è questa : la legittimità di poter fare questo tipo trucchetti in fisica è conseguenza unicamente del teorema di integrazione per sostituzione ?
Il teorema infatti mi dice che $\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)dt $ , quindi si tratta di sostituire $g(x)$ con $t$ e di
sostituire idealmente dt=g'(x)dx

Ad esempio io ho pensato in questi termini :
sostituisco $ mv(t) = p $ , poi faccio le derivate $ (dmv)/dt = (dp)/(dt)$ , $ (dmv)/dt = F $ applico il trucchetto "ideale"
$ dmv= Fdt $ e infine ottengo $ \int_{mv(t1)}^{mv(t2)}dmv= \int_{t1}^{t2} Fdt $ ovvero (considerando che $ mv(t1)= p1 $ e $mv(t2) = p2$ )
$ \int_{p1}^{p2}dp= \int_{t1}^{t2} Fdt $

Risposte
anto_zoolander
sempre sul pezzo il nostro Fioravante :-D

diciamo che la sostituzione è giustificata sempre dal teorema della derivata di una funzione composta

$int_(a)^(b)f(g(x))g'(x)dx= F(g(x))_(a)^(b)=F(g(b))-F(g(a))=F(x)|_(g(a))^(g(b))=int_(g(a))^(g(b))f(x)dx$

jack ishimaura
Ho due domande da fare :
1)Adesso posso dire di sapere davvero il motivo per cui in fisica vengono fatte certe cose ?
2)È sbagliato passare dal $dmv$ al $dp$ nell'integrale come ho fatto io?

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.