Teorema di integrazione per serie di funzioni
Buonasera a tutti,
nel dimostrare il teorema di integrazione per le serie di funzioni, una volta verificate le ipotesi del teorema di passaggio al limite sotto integrale, ottengo
$\int_a^blim_ns_n(x)dx=\int_a^b\sum_{k=0}^infty f_k(x)dx=lim_n\int_a^bs_n(x)dx$.
Come dimostro che l'ultimo termine è uguale a $\sum_{k=0}^infty \int_a^b f_k(x)dx$?
Grazie in anticipo!
nel dimostrare il teorema di integrazione per le serie di funzioni, una volta verificate le ipotesi del teorema di passaggio al limite sotto integrale, ottengo
$\int_a^blim_ns_n(x)dx=\int_a^b\sum_{k=0}^infty f_k(x)dx=lim_n\int_a^bs_n(x)dx$.
Come dimostro che l'ultimo termine è uguale a $\sum_{k=0}^infty \int_a^b f_k(x)dx$?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao RP-1,
Beh, da quello che hai scritto $s_n(x) = \sum_{k = 0}^n f_k (x) $, quindi si ha:
$ \int_a^b \lim_{n \to +\infty} s_n(x) \text{d}x = \int_a^b \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^n f_k (x) \text{d}x = \int_a^b \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x) \text{d} x = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b s_n(x) \text{d}x = $
$ = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b \sum_{k = 0}^n f_k (x) \text{d}x = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^n \int_a^b f_k (x) \text{d}x = \sum_{k = 0}^{+\infty} \int_a^b f_k (x) \text{d}x $
Naturalmente nell'ipotesi che si possano fare le varie operazioni...
Beh, da quello che hai scritto $s_n(x) = \sum_{k = 0}^n f_k (x) $, quindi si ha:
$ \int_a^b \lim_{n \to +\infty} s_n(x) \text{d}x = \int_a^b \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^n f_k (x) \text{d}x = \int_a^b \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x) \text{d} x = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b s_n(x) \text{d}x = $
$ = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b \sum_{k = 0}^n f_k (x) \text{d}x = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^n \int_a^b f_k (x) \text{d}x = \sum_{k = 0}^{+\infty} \int_a^b f_k (x) \text{d}x $
Naturalmente nell'ipotesi che si possano fare le varie operazioni...
Ciao pilloeffe, sempre gentilissimo, grazie per l'aiuto!
Dunque, portare fuori dal segno di integrale la sommatoria rientra nell'additività dell'integrale definito ma ho difficoltà con l'ultimissimo passaggio. Come dimostro che il limite della somma di $n$ primitive coincide con l'ultimo termine?
Dunque, portare fuori dal segno di integrale la sommatoria rientra nell'additività dell'integrale definito ma ho difficoltà con l'ultimissimo passaggio. Come dimostro che il limite della somma di $n$ primitive coincide con l'ultimo termine?
"RP-1":
Ciao pilloeffe, sempre gentilissimo, grazie per l'aiuto!
Prego!
"RP-1":
[...] ma ho difficoltà con l'ultimissimo passaggio. Come dimostro che il limite della somma di $n$ primitive coincide con l'ultimo termine?
Non sono sicuro di aver capito bene la domanda, ma forse così lo vedi meglio... Posto $F_k := \int_a^b f_k (x) \text{d}x $ l'ultimo passaggio si scrive semplicemente così:
$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^n F_k = \sum_{k = 0}^{+\infty} F_k $
Ok, quindi si tratta della serie di funzioni integrali. Chiarissimo, grazie ancora!!
Occhio che la funzione integrale è $F(x)=\int_a^x f(t) \text{d}t$, è un'altra cosa!
Se ho ben capito, è come se avessi una serie di primitive, giusto?
No attenzione, $ F_k := \int_a^b f_k (x) \text{d}x $ è un numero reale che dipende da $k$.
Se ad esempio supponiamo per semplicità che sia $f_k(x) = x^k $ si ha:
$ F_0 = \int_a^b f_0 (x) \text{d}x = \int_a^b \text{d}x = b - a $
$ F_1 = \int_a^b f_1 (x) \text{d}x = \int_a^b x \text{d}x = [x^2/2]_a^b = (b^2 - a^2)/2 = (b + a)/2 F_0 $
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$ F_k = \int_a^b f_k (x) \text{d}x = \int_a^b x^k \text{d}x = [x^{k + 1}/(k + 1)]_a^b = (b^{k + 1} - a^{k + 1})/(k + 1) $
Se ad esempio supponiamo per semplicità che sia $f_k(x) = x^k $ si ha:
$ F_0 = \int_a^b f_0 (x) \text{d}x = \int_a^b \text{d}x = b - a $
$ F_1 = \int_a^b f_1 (x) \text{d}x = \int_a^b x \text{d}x = [x^2/2]_a^b = (b^2 - a^2)/2 = (b + a)/2 F_0 $
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$ F_k = \int_a^b f_k (x) \text{d}x = \int_a^b x^k \text{d}x = [x^{k + 1}/(k + 1)]_a^b = (b^{k + 1} - a^{k + 1})/(k + 1) $
Grazie per il chiarimento, mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua 
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