Teorema di integrazione per parti - domanda flash

[Plepp]

Teorema d'integrazione per parti. Siano $f:I\to RR$ una funzione continua e $g\in \mathcal{C}^1(I)$. Allora, se $F$ è una primitiva di $f$, si ha
\[\int f(x)g(x)=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)\]
Mi chiedevo: ma è proprio necessario prendere $g$ di classe $\mathcal{C}^1$? Io trovo che chiedere che $g$ sia derivabile è sufficiente, anche perché non vedo dove la dimostrazione sfrutti la continuità di $g'$.

Sbaglio?

[Zero87]

"Plepp":\[\int f(x)g(x)=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)\]
Mi chiedevo: ma è proprio necessario prendere $g$ di classe $\mathcal{C}^1$?

Sai che se una funzione è continua allora è anche integrabile, quindi se $g\in C^1$ allora il secondo integrale della formula esiste e stiamo apposto.
Certo, sai anche che l'integrale di Riemann è definito anche per funzioni con singolarità all'interno del dominio di integrazione, ma non vale per tutte. Non mi sono mai posto la tua questione ma quindi suppongo che il $g\in C^1$ serva a dire che quindi che l'integrale esiste sicuramente e ad evitare dilemmi filosofici sul fatto se l'integrale esista o meno.

(Ovviamente aspetta conferme e/o smentite da pareri più autorevoli del mio )

[s.stuv]

Precisamente, quella richiesta di regolarità serve ad assicurarsi che la funzione \( x \mapsto F(x) g'(x) \) sia R-integrabile sull'intervallo \( I \).

[Plepp]

Giusto, che cretino che sono... Grazie ragazzi!