Teorema di integrazione per Parti.
$ D(Fg-\int Fg' = fg+Fg'-Fg'=fg $$ D(Fg-\int Fg' = fg+Fg'-Fg'=fg $Il teorema seguente :
Th. Sia $f$ una funzione continua su di un intervallo $I$ e $g \in C^1(I)$ . Allora si ha , indicando con $F$ una primitiva di $f$ , che
$\int f(x)g(x) dx = F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$ (1)
al corso ci è stata presentata la (1) a mo di regoletta dicendo che :
dalla relazione $(f*g)' = f'g+g'f$ (2) si può ricavare (1) sotto determinate ipotesi, insomma , ci è stato spiegato quasi come ad intendere che dalla (2) applicando "l'integrale" ad ambo i membri si potesse giungere alla (1). Cosa che considero alquanto sbagliata anche se "praticamente" la cosa funziona.
Quindi non contento di questo "formalismo" un po carente, consultando il mio libro,ho trovato una corretta formulazione del teorema, che ho sopra riportato. Anche se la dimostrazione che ne da il testo ( Acerbi-Buttazzo - Primo corso di Analisi Matematica) mi lascia perplesso in un punto.
Riporto la dimostrazione , è breve :
Dice che si tratta di dimostrare che derivando entrambi i membri si deve ottenere sia a destra che a a sinistra la stessa funzione e cioè si deve ottenere che
$f*g= D(Fg-\intFg')$ , infatti di ha che $D(Fg-\int Fg' = fg+Fg'-Fg'=fg$ e quindi l'asserto è provato.
Ma anche qui, noto una certa mancanza di formalismo, forse voluta in maniera consapevole dell'autore. Perché il lettore potrebbe intendere quanto segue , cioé derivando ambo i membri, si ha
$D(\int f(x)g(x)dx)=f(x)g(x)=D(F(x)g(x))-D(\int(F(x)g'(x))dx)$ e quindi si potrebbe intendere che l'operatore $D$ semplifichi il segno $\int$ , ma ciò non ha molto senso. Infatti non ha senso "derivare un insieme".
Non sarebbe stato più corretto dire :
Detta $H$ una primitiva qualsiasi di $f*g$ (e quindi un elemento qualsiasi di $\int f(x)g(x)$ )e $J$ una di $F(x)g'(x)$ (e quindi un elemento qualsiasi di $\int Fg' $) l'asserto sarà provato se $H' = (Fg)'-J'$ ? Se non altro non si sarebbe caduto in una certa "ambiguità". Voi che ne pensate? Grazie mille.
Th. Sia $f$ una funzione continua su di un intervallo $I$ e $g \in C^1(I)$ . Allora si ha , indicando con $F$ una primitiva di $f$ , che
$\int f(x)g(x) dx = F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$ (1)
al corso ci è stata presentata la (1) a mo di regoletta dicendo che :
dalla relazione $(f*g)' = f'g+g'f$ (2) si può ricavare (1) sotto determinate ipotesi, insomma , ci è stato spiegato quasi come ad intendere che dalla (2) applicando "l'integrale" ad ambo i membri si potesse giungere alla (1). Cosa che considero alquanto sbagliata anche se "praticamente" la cosa funziona.
Quindi non contento di questo "formalismo" un po carente, consultando il mio libro,ho trovato una corretta formulazione del teorema, che ho sopra riportato. Anche se la dimostrazione che ne da il testo ( Acerbi-Buttazzo - Primo corso di Analisi Matematica) mi lascia perplesso in un punto.
Riporto la dimostrazione , è breve :
Dice che si tratta di dimostrare che derivando entrambi i membri si deve ottenere sia a destra che a a sinistra la stessa funzione e cioè si deve ottenere che
$f*g= D(Fg-\intFg')$ , infatti di ha che $D(Fg-\int Fg' = fg+Fg'-Fg'=fg$ e quindi l'asserto è provato.
Ma anche qui, noto una certa mancanza di formalismo, forse voluta in maniera consapevole dell'autore. Perché il lettore potrebbe intendere quanto segue , cioé derivando ambo i membri, si ha
$D(\int f(x)g(x)dx)=f(x)g(x)=D(F(x)g(x))-D(\int(F(x)g'(x))dx)$ e quindi si potrebbe intendere che l'operatore $D$ semplifichi il segno $\int$ , ma ciò non ha molto senso. Infatti non ha senso "derivare un insieme".
Non sarebbe stato più corretto dire :
Detta $H$ una primitiva qualsiasi di $f*g$ (e quindi un elemento qualsiasi di $\int f(x)g(x)$ )e $J$ una di $F(x)g'(x)$ (e quindi un elemento qualsiasi di $\int Fg' $) l'asserto sarà provato se $H' = (Fg)'-J'$ ? Se non altro non si sarebbe caduto in una certa "ambiguità". Voi che ne pensate? Grazie mille.
Risposte
Qui Il simbolo $\int f(x)$ è usato un po' come il simbolo di o-piccolo. Insomma, per
\[F(x)=\int f(x)\]
s'intende - notazione un po' insolita -
\[F(x)\in \int f(x)\]
o anche, detta $H$ una primitiva di $f: I\to RR$,
\[F(x)= H(x)+c\]
per un'opportuna costante $c\in RR$, che è appunto quel che dicevi tu.
\[F(x)=\int f(x)\]
s'intende - notazione un po' insolita -
\[F(x)\in \int f(x)\]
o anche, detta $H$ una primitiva di $f: I\to RR$,
\[F(x)= H(x)+c\]
per un'opportuna costante $c\in RR$, che è appunto quel che dicevi tu.
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