Teorema di Heine-Cantor, continuità e uniforme continuità
ciao a tutti, sono nuovo nel sito, studiando le funzioni continue vorrei farvi delle domande sul teorema di Heine-Cantor, e definizioni sulla continuità e uniforme continuità...
siccome nei miei appunti avrò saltato qualcosa, non capisco bene il procedimento...
quello che ho capito, andando anche su internet è questo qui sotto:
Una funzione f : A ( R) → R si dice
continua in x appartenete A se ; per ogni ε>0 esiste un δ>0 : per ogni x0 appartenente ad A |x - x0|<δ ----> |f(x) - f(x0)|< ε
continua in A se ; per ogni x appartenete ad A e per ogni ε>0 esiste un δ>0 : per ogni x0 appartenente ad A |x - x0|<δ ----> |f(x) - f(x0)|< ε
uniformemente continua in A se ; per ogni ε>0 esiste un δ>0 : per ogni x,x0 appartenente ad A |x - x0|<δ ----> |f(x) - f(x0)|< ε
Differenze tra i concetti di continuità e di continuità uniforme.
- La definizione di continuità è la richiesta che: "punti vicini ad un determinato punto x abbiano immagini vicine a quella di x".
Ovvero: dato ε>0, si tratta di trovare δ>0, che dipenderà sia da ε che da x, in modo che punti che distano da x meno di δ abbiano immagini che distano da quella di x meno di ε.
- La definizione di continuità uniforme è invece la richiesta che punti vicini tra di loro abbiano immagini vicine tra di loro.
Ovvero: dato ε>0, si tratta di trovare δ>0, che dipenderà solo ed esclusivamente da ε, in modo che coppie di punti che distano tra di loro meno di δ abbiano immagini che distano tra di loro meno di ε.
Risulta evidente che il concetto di continuità uniforme è molto più restrittivo che non quello di continuità: ogni funzione uniformemente continua è anche continua.
Teorema di Heine-Cantor.
"Ogni funzione continua in un un insieme chiuso e limitato di R è uniformemente continua".
Se la definizione di uniforme continuità si dà per funzioni tra spazi metrici generici (cosa possibile), allora l'insieme chiuso e limitato dell'enunciato di questo teorema va sostituito con "insieme compatto".
Si tratta di uno dei risultati più importanti riguardanti le funzioni uniformemente continue.
Esistono anche funzioni che sono uniformemente continue pur non essendo definite in insiemi non chiusi e limitati.
Esempi classici sono le funzioni trigonometriche seno e coseno.
1)mi date una definizione di insieme compatto e sequenzialmente compatto??
2)esiste una dimostrazione del teorema? se si, potete scriverla?
grazie per le risposte
siccome nei miei appunti avrò saltato qualcosa, non capisco bene il procedimento...
quello che ho capito, andando anche su internet è questo qui sotto:
Una funzione f : A ( R) → R si dice
continua in x appartenete A se ; per ogni ε>0 esiste un δ>0 : per ogni x0 appartenente ad A |x - x0|<δ ----> |f(x) - f(x0)|< ε
continua in A se ; per ogni x appartenete ad A e per ogni ε>0 esiste un δ>0 : per ogni x0 appartenente ad A |x - x0|<δ ----> |f(x) - f(x0)|< ε
uniformemente continua in A se ; per ogni ε>0 esiste un δ>0 : per ogni x,x0 appartenente ad A |x - x0|<δ ----> |f(x) - f(x0)|< ε
Differenze tra i concetti di continuità e di continuità uniforme.
- La definizione di continuità è la richiesta che: "punti vicini ad un determinato punto x abbiano immagini vicine a quella di x".
Ovvero: dato ε>0, si tratta di trovare δ>0, che dipenderà sia da ε che da x, in modo che punti che distano da x meno di δ abbiano immagini che distano da quella di x meno di ε.
- La definizione di continuità uniforme è invece la richiesta che punti vicini tra di loro abbiano immagini vicine tra di loro.
Ovvero: dato ε>0, si tratta di trovare δ>0, che dipenderà solo ed esclusivamente da ε, in modo che coppie di punti che distano tra di loro meno di δ abbiano immagini che distano tra di loro meno di ε.
Risulta evidente che il concetto di continuità uniforme è molto più restrittivo che non quello di continuità: ogni funzione uniformemente continua è anche continua.
Teorema di Heine-Cantor.
"Ogni funzione continua in un un insieme chiuso e limitato di R è uniformemente continua".
Se la definizione di uniforme continuità si dà per funzioni tra spazi metrici generici (cosa possibile), allora l'insieme chiuso e limitato dell'enunciato di questo teorema va sostituito con "insieme compatto".
Si tratta di uno dei risultati più importanti riguardanti le funzioni uniformemente continue.
Esistono anche funzioni che sono uniformemente continue pur non essendo definite in insiemi non chiusi e limitati.
Esempi classici sono le funzioni trigonometriche seno e coseno.
1)mi date una definizione di insieme compatto e sequenzialmente compatto??
2)esiste una dimostrazione del teorema? se si, potete scriverla?
grazie per le risposte
Risposte
1) Possibile che non ci siano già sul libro le due definizioni?
2) Si trova su ogni libro di Analisi dei vecchi ordinamenti.
2) Si trova su ogni libro di Analisi dei vecchi ordinamenti.
sul libro il teorema non c'è...
"parisi57":
sul libro il teorema non c'è...
Appunto: sul tuo libro non c'è. Prova a cercare altrove, ad esempio su un testo per i vecchi ordinamenti pre-riforma.
Per quanto riguarda le definizioni di compattezza, ce ne sono diverse ed il loro uso dipende dal testo che adotti e da ciò che il tuo prof. ha illustrato a lezione.
Ad esempio, avete parlato di insiemi aperti e topologia della retta reale?
Il teorema di Bolzano sulle successioni lo avete visto?
Se non dici questo, è piuttosto arduo capire cosa tu voglia sentirti rispondere come definizione di insieme compatto.
Per la compattezza sequenziale, invece, la situazione è un po' più standard:
Un insieme \(K\subseteq \mathbb{R}\) si dice sequenzialmente compatto se e solo se d ogni successione \((x_n)\subseteq K\) si può estrarre una sottosuccessione convergente verso un punto \(x\in K\).
Ad esempio, \(\mathbb{R}\) non è sequenzialmente compatto, perché dalla successione \((n)\) non si estraggono successioni convergenti (nota che \(\mathbb{R}\) non è limitato); anche \(]0,1]\) non è sequenzialmente compatto, perché dalla succesione \((1/n)\) non si estraggono successioni convergenti ad un punto di \(]0,1]\) (nota che \(]0,1]\) non chiuso).
Gli insiemi finiti sono sequenzialmente compatti in maniera banale; più in generale si prova il seguente teorema di caratterizzazione:
Un insieme \(K\subseteq \mathbb{R}\) è sequenzialmente compatto se e solo se esso è chiuso e limitato.
Ad esempio, l'insieme infinito \(\{ 1/n\}_{n\in \mathbb{N}} \cup \{0\}\) è sequenzialmente compatto.
sul mio libro di testo di Analisi 1 c'è la continuità uniforme. Oltre alla continuità uniforme, dove ci sono le derivate fa questo corollario, molto utile secondo me
Corollario
Corollario
@ 21zuclo: Ma sei proprio sicuro dell'enunciato?
Ad esempio \(f:[1,\infty[\ni x\mapsto x^2 \in [1,\infty[\) soddisfa l'enunciato (con \(C=2\)) ma si guarda bene dall'essere uniformemente continua in \([1,\infty[\).
Ad esempio \(f:[1,\infty[\ni x\mapsto x^2 \in [1,\infty[\) soddisfa l'enunciato (con \(C=2\)) ma si guarda bene dall'essere uniformemente continua in \([1,\infty[\).
Tra l'altro è anche uno dei pochi teoremi ad avere una sua canzone 
[ot]http://www.youtube.com/watch?v=raTChqHosqE[/ot]
[ot]http://www.youtube.com/watch?v=raTChqHosqE[/ot]
"gugo82":
@ 21zuclo: Ma sei proprio sicuro dell'enunciato?
Ad esempio \(f:[1,\infty[\ni x\mapsto x^2 \in [1,\infty[\) soddisfa l'enunciato (con \(C=2\)) ma si guarda bene dall'essere uniformemente continua in \([1,\infty[\).
c'è scritto così sul mio testo. L'ho proprio ricopiata!
Ma non credo proprio... Vedi che c'è (e ci deve essere) il \(\leq\), e non il \(\geq\), in entrambe le disuguaglianze del tuo enunciato. 
"gugo82":
Ma non credo proprio... Vedi che c'è (e ci deve essere) il \(\leq\), e non il \(\geq\), in entrambe le disuguaglianze del tuo enunciato.
hai ragione gugo82, c'è il $\leq$
ho sbagliato a ricopiare il simbolo di disuguaglianza
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