Teorema di Heine-Cantor
Salve ragazzi su questo teorema so definizione pero non la comprendo a pieno potete farmi un esempio con una funzione semplice, scrivendomi anche la definizione come la direste voi ad un prof! grazie mille in anticipo
Risposte
Prima di tutto l'uso di una punteggiatura migliore sarebbe gradito.
Passando alla tecnica, un teorema non è una definizione, e c'è parecchia differenza. Caso mai sai l'enunciato del teorema. Scrivi l'enunciato che conosci e vediamo di commentarlo.
Passando alla tecnica, un teorema non è una definizione, e c'è parecchia differenza. Caso mai sai l'enunciato del teorema. Scrivi l'enunciato che conosci e vediamo di commentarlo.
Innanzitutto scusami se mi sono espresso male pero, io so che enunciato e definizione sono due sinonimi me lo porta su un vocabolario, poi se in matematica e diverso non lo so! cmq del teorema di Heine-Cantor so che:
Sia $ f:X sub R to R $ verificante le seguenti condizioni:
1. f continua in X
2. X compatto
Allora f è uniformemente continua in X.
Ti ringrazio.
Sia $ f:X sub R to R $ verificante le seguenti condizioni:
1. f continua in X
2. X compatto
Allora f è uniformemente continua in X.
Ti ringrazio.
Sul libro è riportato come Teorema di Cantor, e non Cantor Heine, ma l'ipotesi e la tesi, coincide con la mia.
Io parterei con il dire la definizione di funzione uniformamente continua:
Si dice che $f:I->RR$ è uniformamente continua nell'intervallo $I$ di $RR$ se:
per ogni $epsilon>0$, esiste un $delta=delta(epsilon)>0 : x,x'$ appartengono ad
$RR$
$|x-x'|$ $|f(x)-f(x')|
Poi c'è tutta la dimostrazione del teorema di cantor che dice:
$H.p$ : $f$, funzione continua in $[a,b]$
$T.h$ $f$ uniformamente continua in $[a,b]$
(spero vada bene)
P.S @Luca Lussardi
Questo è il teorema di Cantor.
Quello di Cantor-Heine riguarderebbe la dimostrazione dei sottoinsiemi compatti e la loro caratterizzazione?
Perchè non vorrei fare confusione...
Io parterei con il dire la definizione di funzione uniformamente continua:
Si dice che $f:I->RR$ è uniformamente continua nell'intervallo $I$ di $RR$ se:
per ogni $epsilon>0$, esiste un $delta=delta(epsilon)>0 : x,x'$ appartengono ad
$RR$
$|x-x'|
Poi c'è tutta la dimostrazione del teorema di cantor che dice:
$H.p$ : $f$, funzione continua in $[a,b]$
$T.h$ $f$ uniformamente continua in $[a,b]$
(spero vada bene)
P.S @Luca Lussardi
Questo è il teorema di Cantor.
Quello di Cantor-Heine riguarderebbe la dimostrazione dei sottoinsiemi compatti e la loro caratterizzazione?
Perchè non vorrei fare confusione...
@ clever: uniformemente... 
Il teorema di Heine-Cantor classico è quello che tu hai enunciato come teorema di Cantor, e l'enunciato va bene. L'enunciato dato da michele038 è un filino più generale, in quanto non richiede la connessione di $X$, ma solo la compattezza, che è il vero ingrediente.
L'idea intuitiva che sta sotto alla definizione di funzione uniformemente continua è che una funzione UC ha il grafico che non si impenna troppo, però bisogna stare attenti al fatto che le cose vanno male se si impenna troppo in presenza di un asintoto verticale o all'infinito. Infatti segeundo l'intuizione uno direbbe che $f(x)=\sqrt x$ non è UC in $[0,1]$, invece lo è per il teorema di Heine-Cantor; invece $f(x)=1/x$ non è UC in $(0,1]$, e qui l'intuizione regge.
L'idea intuitiva che sta sotto alla definizione di funzione uniformemente continua è che una funzione UC ha il grafico che non si impenna troppo, però bisogna stare attenti al fatto che le cose vanno male se si impenna troppo in presenza di un asintoto verticale o all'infinito. Infatti segeundo l'intuizione uno direbbe che $f(x)=\sqrt x$ non è UC in $[0,1]$, invece lo è per il teorema di Heine-Cantor; invece $f(x)=1/x$ non è UC in $(0,1]$, e qui l'intuizione regge.
@ gugo82: uniformemente.
(Scusa, ma non ho resistito).
(Scusa, ma non ho resistito).
@ Luca: Stavo correggendo... 
"Luca.Lussardi":
Il teorema di Heine-Cantor classico è quello che tu hai enunciato come teorema di Cantor, e l'enunciato va bene. L'enunciato dato da michele038 è un filino più generale, in quanto non richiede la connessione di $X$, ma solo la compattezza, che è il vero ingrediente.
L'idea intuitiva che sta sotto alla definizione di funzione uniformemente continua è che una funzione UC ha il grafico che non si impenna troppo, però bisogna stare attenti al fatto che le cose vanno male se si impenna troppo in presenza di un asintoto verticale o all'infinito. Infatti segeundo l'intuizione uno direbbe che $f(x)=\sqrt x$ non è UC in $[0,1]$, invece lo è per il teorema di Heine-Cantor; invece $f(x)=1/x$ non è UC in $(0,1]$, e qui l'intuizione regge.
Dunque, Io ho riportato è il Teorema di Cantor a tutti gli effetti.
Però mi manca, e non riesco a trovare da nessuna parte, la descrizione dei sottoinsiemi compatti, e il teorema che diche che se $[a,b]$ insieme chiuso e limitato, allora è compatto su $RR$, (forse mi son espresso male, ma l'idea è questa, ecco perchè chiedevo se facessi confusione tra Cantor e Cantor-Heine)
@ clever: Se non ricordo male il teorema di caratterizzazione dei compatti è di solito chiamato Teorema di Heine-Borel oppure Teorema di Heine-Pincherle-Borel.
Quindi ragazzi vediamo se ho capito( spero di non dire cavolate): Se per esempio prendo $1/\sqrt{x}$ come funzione non è U.C tra [0,1] in quanto non ce quel famoso "tubicino" che può scorrere a causa dell'asintodo pero posso prendere un intervallo dopo per esempio [1,2] e li è U.C. Ditemi se e corretto grazie!
[mod="dissonance"]Corretto un errore: era "se per esempio prendo $x^2$ [...]"[/mod]
[mod="dissonance"]Corretto un errore: era "se per esempio prendo $x^2$ [...]"[/mod]
Hai capito ben poco mi pare... che asintoto ha $x^2$??
"gugo82":
@ clever: Se non ricordo male il teorema di caratterizzazione dei compatti è di solito chiamato Teorema di Heine-Borel oppure Teorema di Heine-Pincherle-Borel.
Ah ecco, Borel-Heine.
Credo che sia proprio questo, peccato che non riesca a trovarlo su alcun libro, sai dove posso trovare una buona dimostrazione, chiara e precisa?
Te ne sarei grato.
"Luca.Lussardi":
Hai capito ben poco mi pare... che asintoto ha $x^2$??
scusa ho sbagliato funzione volevo dire $1/sqrt(x)$
@clever: Non riesci a trovarlo sul libro di Marcellini e Sbordone perché in quel testo non si usa proprio la parola "compatto". Di questo concetto topologico (compattezza) si può infatti fare a meno in una prima trattazione dell'analisi e questa è la strada seguita dai due autori.
@michele: Non è facilissimo parlare di "tubicini" e di supporti intuitivi analoghi a questo sul forum. Hai provato, invece, a consultare questa pagina:
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
si certo da li ho preso questa similitudine!
E allora ti conviene leggere con più calma, perché questo:
è un grosso errore. Proprio il teorema di Cantor del quale si parla in questo topic, infatti, ti garantisce che questa funzione, essendo continua, è u.c. in ogni intervallo compatto, come ad esempio $[0, 1]$.
"michele038":
$x^2$ come funzione non è U.C tra [0,1]
è un grosso errore. Proprio il teorema di Cantor del quale si parla in questo topic, infatti, ti garantisce che questa funzione, essendo continua, è u.c. in ogni intervallo compatto, come ad esempio $[0, 1]$.
"dissonance":
E allora ti conviene leggere con più calma, perché questo:
[quote="michele038"] $x^2$ come funzione non è U.C tra [0,1]
è un grosso errore. Proprio il teorema di Cantor del quale si parla in questo topic, infatti, ti garantisce che questa funzione, essendo continua, è u.c. in ogni intervallo compatto, come ad esempio $[0, 1]$.[/quote]
Se leggi l'intero post vedi che ho scritto che ho sbagliato a scrivere la funzione il mio dubbio era se ho fatto bene con la funzione $1/sqrt(x)$
Ah ok. Le prossime volte, se succede una cosa del genere, usa il pulsante "MODIFICA" che trovi in alto a destra per correggere.
Con la funzione $1/\sqrt{x}$ il ragionamento va bene, non puoi prendere un unico "tubicino" perché quando ti avvicini a $x=0$ devi stringere sempre di più. Su un altro intervallo compatto, che non contenga lo $0$, tutto fila liscio.
Con la funzione $1/\sqrt{x}$ il ragionamento va bene, non puoi prendere un unico "tubicino" perché quando ti avvicini a $x=0$ devi stringere sempre di più. Su un altro intervallo compatto, che non contenga lo $0$, tutto fila liscio.
"dissonance":
Ah ok. Le prossime volte, se succede una cosa del genere, usa il pulsante "MODIFICA" che trovi in alto a destra per correggere.
Con la funzione $1/\sqrt{x}$ il ragionamento va bene, non puoi prendere un unico "tubicino" perché quando ti avvicini a $x=0$ devi stringere sempre di più. Su un altro intervallo compatto, che non contenga lo $0$, tutto fila liscio.
okok l'importante che quello che ho detto sulla funzione $1/\sqrt{x}$ non sia una castroneria. Guarda ho l'orale mercoledi di analisi e devo passare assolutamente. In questi giorni sto studiando e fino a mercoledi credo che chiedero molte volte il vostro aiuto!
!! Cmq grazie mille!
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