Teorema di Hadamard

[cifa1]

Salve a tutti,
A breve avrò un esame orale di calcolo integrale, nel programma figura il teorema di Hadamard, cercando fra i miei appunti ho trovato la seguente definizione:

Sia $ sum an x^n $ una serie di potenze. Se la serie converge in un punto y!=0, allora la serie converge assolutamente per ogni x tale che $ |x | $ < $|y|$, cioè nell'intervallo (-$|y|$, $|y|$).

Volevo chiedervi se questo enunciato va bene e sopratutto volevo chiedervi se possibile una dimostrazione di questo teorema dato che sul mio libro (Adams) non l'ho trovata.


Vi ringrazio!

[lawrencetb]

Scegliamo $\|x|<|y|$.

$\|a_nx^n|=|a_ny^n|(|x/y|)^n$ con $\a_ny^n in RR$ per ipotesi. Allora avremo che $\a_ny^n rightarrow 0$, quindi è limitato.

$\|a_ny^n|(|x/y|)^n<=M(|x/y|)^n$ e $\sum(|x/y|)^n < +infty$ poichè $\|x/y|<1$. Quindi per il confronto converge anche la serie di partenza.

[j18eos]

Come fai a dire che: [tex]$\exists M\in[0;+\infty):\forall n\in\mathbb{N}_0,\,|a_ny^n|\leq M$[/tex]?

[lawrencetb]

Poichè $\a_ny^n$ converge, allora il termine n-esimo $\a_ny^n -> 0$. Quindi, dato che stiamo indagando sulla convergenza, per n grande sicuramente quella quantità sarà limitata tra $\l-M$ e $\l+M$

[j18eos]

Per essere esatti, deve essere: [tex]$|y|=\sup\bigg\{x\in\mathbb{R}\mid\text{La serie}\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n\,\text{è convergente!}\bigg\}<+\infty$[/tex], applicare a dovere la definizioni opportune ed arrivare a considerare una tale [tex]$M$[/tex].

[lawrencetb]

Infatti è la definizione di raggio di convergenza..