Teorema di Hadamard

[Pablitos23]

Se $lim_(n->+oo) an = 0 -> sum_{n=0}^(+oo) an*x^n$ converge.

Qualcuno sa dove posso trovare la dimostrazione di questo enunciato?? Mi serve per l'orale di dopodomani.

[Emar1]

Che vuol dire "converge"? Per quali $x$?

Comunque dovrebbe essere una conseguenza di questo

[dissonance]

Devi aggiungere l'ipotesi che \(\lvert x \rvert <1\) altrimenti è falso. Con questa ipotesi, si dimostra usando il criterio della radice, come già detto da Emar.

[Pablitos23]

La risposta qui al teorema mi sembra molto chiara
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=78038&p=538100&hilit=dimostrazione+hadamard#p538100

Quello che invece non mi è chiario è la differenza tra il teorema di hadamard e il teorema di cauchy-hadamard del criterio della radice.

[dissonance]

I teoremi non hanno sempre lo stesso nome. A volte i nomi sono ballerini e cambiano un po'. E' sicuramente questo il caso e io sospetto che il "teorema di Hadamard" del post che hai linkato non c'entri nulla col programma del tuo corso.

[Pablitos23]

La domanda dice: definire il raggio di convergenza di una serie di potenze centrate in zero. Dimostrare il teorema di Hadamard per le serie di potenze centrate in zero e illustrare, come consequenza, com'è fatto l'insieme di convergenza.

Il raggio di convergenza di una serie di potenze centrate in zero è:

$R := text{sup} {x in R | sum_{n=0}^(+oo) a_n*x^n text{ converge}} < +oo$

Ora la dimostrazione di Hadamard è il criterio della radice quindi ?