Teorema di guldino per solidi di rotazione

[Lebesgue]

Ciao a tutti! Dovrei calcolare il volume del seguente solido:
\(\displaystyle V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^2 | x^2+y^2\le1, -2\le z\le 1-\sqrt{x^2+y^2}\} \)
Utilizzando il Teorema di Guldino, solo che non ho ben capito come... qualcuno potrebbe darmi una mano?
grazie in anticipo!

p.s. ho calcolato il volume svolgendo l'integrale triplo $\int\int\int_V 1\ dx\ dy\ dz$ e passando in coordinate cilindriche, ma l'esercizio richiede espressamente l'utilizzo di Guldino

[otta96]

Cosa dice il teorema di Guldino?

[pilloeffe]

Ciao Lebesgue,

Se non ho fatto male i conti, applicando il teorema citato mi risulta quanto segue:

$ V = \int\int\int_V \text{d}x \text{d}y \text{d}z = (7\pi)/3 $

[Lebesgue]

"otta96":Cosa dice il teorema di Guldino?

Se non ricordo male, afferma che $Vol(S)=Area(F)\cdot2\pi y_g$
dove S è solido di rotazione, F è la figura che ruota e $y_g$ è la coordinata y del baricentro della figura F.
Il mio problema è che non ho ben capito chi sia la figura F che ruota.
So che il solido è un cono capovolto con vertice in (0,0,1) e circonferenza di base, ad altezza $z=-2$ data da $x^2+y^2=1$, quindi mi verrebbe da dire che la figura è un triangolo rettangolo che ruota attorno l'asse z nel piano yz

[otta96]

Non è proprio un cono, è più simile ad un proiettile, quindi possiamo prendere come $F$...

[Lebesgue]

"otta96":Non è proprio un cono, è più simile ad un proiettile, quindi possiamo prendere come $F$...

no momento momento, $z=1-\sqrt(x^2+y^2)$ è un cono.
il paraboloide sarebbe stato $z=1-(x^2+y^2)$

[otta96]

Si, ma $z>=-2$, non di $0$.

[Lebesgue]

"otta96":Si, ma $z>=-2$, non di $0$.

okay: il solido che ruota è un trapezio rettangolo, ho fatto i conti con guldino e si trova.
grazie!!