Teorema di green sul campo vettoriale

[merio90]

Salve a Tutti mi chiamo Mario, è il mio primo posto, sto avendo grande difficoltà con ils eguente esercizio:
teorema di green sul campo vettoriale (x^2y^2,x^3y) dove D è il triangolo di vertice A(0,0), B(2,1)C(1.2), calcolando il flusso del rotore x^2y, ottengo 12, mentre per gamma 1 AB 16/5, gamma 3 CA -8/5, per quanto riguarda BC l'ho parametrizzato con X=2-t e Y= 1+t , ho anche provato con X=t e Y=3-t, con gli estremi tra 1 e 2.
vi chiamo un aiuto, grazie mille

[pilloeffe]

Ciao merio990,

Benvenuto sul forum!

Non è che si capisca molto del tuo post in quanto non hai scritto le formule come prescritto dal regolamento, ma ci può stare essendo il tuo primo post e proverò a risponderti.
Dato il campo vettoriale $\mathbf{F} $ su $D \subset \RR^2 $ definito da $\mathbf{F}(x, y) := (F_1(x,y), F_2(x,y)) = (x^2 y^2, x^3 y) $ ove $D$ è il triangolo di vertici $A(0,0)$, $B(2,1)$, $ C(1,2) $ il teorema di Green nel piano afferma che si ha:

$\oint_{\del D} F_1(x,y) \text{d}x + F_2(x,y) \text{d}y = \int \int_D [\frac{\del F_2(x,y)}{\del x} - \frac{\del F_1(x,y)}{\del y}] \text{d}x \text{d}y $

Cominciamo col considerare le derivate nell'integrale doppio al secondo membro:

$ \frac{\del F_2(x,y)}{\del x} = 3x^2 y $

$ \frac{\del F_1(x,y)}{\del y} = 2x^2 y $

Quindi si ha:

$ \int \int_D [\frac{\del F_2(x,y)}{\del x} - \frac{\del F_1(x,y)}{\del y}] \text{d}x \text{d}y = \int \int_D x^2 y \text{d}x \text{d}y = $
$ = \int_0^1 \int_{x/2}^{2x} x^2 y \text{d}x \text{d}y + \int_1^2 \int_{x/2}^{- x + 3} x^2 y \text{d}x \text{d}y = $
$ = \int_0^1 x^2 (\int_{x/2}^{2x} y \text{d}y) \text{d}x + \int_1^2 x^2 (\int_{x/2}^{- x + 3} y \text{d}y) \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x^2 [y^2/2]_{x/2}^{2x} \text{d}x + \int_1^2 x^2 [y^2/2]_{x/2}^{- x + 3} \text{d}x = ... = 3/8 + 63/40 = 15/40 + 63/40 = 78/40 = 39/20 $

Vediamo ora l'integrale al primo membro:

$\oint_{\del D} F_1(x,y) \text{d}x + F_2(x,y) \text{d}y = \oint_{\del D} x^2 y^2 \text{d}x + x^3 y \text{d}y $

Lungo la retta $y = x/2 $ che congiunge il punto $A(0, 0) $ col punto $B(2, 1) $ l'integrale diventa il seguente:

$ \int_0^2 [x^2 x^2/4 \text{d}x + x^3 x/2 1/2 \text{d}x] = 1/2 \int_0^2 x^4 \text{d}x = 1/2 [x^5/5]_0^2 = 16/5 $

Lungo la retta $y = 3 - x $ che congiunge il punto $B(2, 1) $ col punto $C(1, 2) $ l'integrale diventa il seguente:

$ \int_2^1 [x^2 (3 - x)^2 \text{d}x - x^3 (3 - x) \text{d}x] = \int_2^1 [x^2 (9 - 6x + x^2) - 3x^3 + x^4] \text{d}x = $
$ = \int_2^1 (9 x^2- 9x^3 + 2x^4) \text{d}x = ... = 7/20 $

Lungo la retta $y = 2x $ che congiunge il punto $C(1, 2) $ col punto $A(0, 0) $ l'integrale diventa il seguente:

$ \int_1^0 (x^2 \cdot 4x^2 \cdot \text{d}x + x^3 \cdot 2x \cdot 2\text{d}x) = 8 \int_1^0 x^4 \text{d}x = - 8/5 $

Si osservi che $16/5 + 7/20 - 8/5 = 8/5 + 7/20 = 32/20 + 7/20 = 39/20 $, che corrisponde a quanto già ottenuto con l'integrale doppio al secondo membro.

[merio90]

Grazie mille!!!!!