Teorema di Green per calcolare una superficie
il testo del problema recita cosi:
servirsi del teorema di green per calcolare l'area dell'insieme $E$ cosi definito:
E la regione limitata del piano yz racchiusa dalle curve
$z=0; z=y^2; z=1-y^2$.
il teorema di green, che sappia io, recita:
$int_E F*tau=int_(partial E)((partial F_2)/(partial x)-(partial F_1)/(partial y))dxdy$
dove $tau$ e' il campo tangente alla curva che da' il verso di percorrenza della curva, e $F$ e' un campo vettoriale.
da dove parto? devo parametrizzare la curva? e il campo da dove lo tiro fuori??
servirsi del teorema di green per calcolare l'area dell'insieme $E$ cosi definito:
E la regione limitata del piano yz racchiusa dalle curve
$z=0; z=y^2; z=1-y^2$.
il teorema di green, che sappia io, recita:
$int_E F*tau=int_(partial E)((partial F_2)/(partial x)-(partial F_1)/(partial y))dxdy$
dove $tau$ e' il campo tangente alla curva che da' il verso di percorrenza della curva, e $F$ e' un campo vettoriale.
da dove parto? devo parametrizzare la curva? e il campo da dove lo tiro fuori??
Risposte
Innanzitutto quella che riporti è la formula di Stokes, non quella di Green; inoltre hai anche sbagliato a scrivere gli insiemi a cui sono estesi gli integrali (vanno invertiti: a sinistra l'integrale è curvilineo, a destra è doppio).
Le formule di Gauss-Green sono le seguenti:
a) $\int_E (\partial f)/(\partial x) " d"x"d"y=\int_(+\partial E) f" d"y \quad$;
b) $\int_E (\partial f)/(\partial y) " d"x"d"y=- \int_(+\partial E) f" d"x \quad$.
Si vede che, ponendo in a) $f(x,y)=x$ ed in b) $f(x,y)=y$, le relazioni precedenti implicano:
1) $"area"(E)=\int_(+\partial E) x" d"y \quad$;
2) $"area"(E)=-\int_(+\partial E) y" d"x \quad$;
ed a loro volta, fissati due numeri reali $alpha,beta$ tali che $alpha+beta!=0$, le 3-4) importano:
3) $"area"(E)=1/(alpha+beta) \int_(+\partial E) -beta y" d"x+alpha x" d"y$ (in particolare, per $alpha=1=beta$ hai $"area"(E)=1/2 \int_(+\partial E) -y" d"x+x" d"y$);
in tal modo rimane provato che le formule di Gauss-Green a-b) consentono di esprimere l'area di una porzione di piano regolare $E$ come integrale di forme differenziali lineari estesi al bordo $\partial E$ orientato in senso antiorario.
Le formule di Gauss-Green sono le seguenti:
a) $\int_E (\partial f)/(\partial x) " d"x"d"y=\int_(+\partial E) f" d"y \quad$;
b) $\int_E (\partial f)/(\partial y) " d"x"d"y=- \int_(+\partial E) f" d"x \quad$.
Si vede che, ponendo in a) $f(x,y)=x$ ed in b) $f(x,y)=y$, le relazioni precedenti implicano:
1) $"area"(E)=\int_(+\partial E) x" d"y \quad$;
2) $"area"(E)=-\int_(+\partial E) y" d"x \quad$;
ed a loro volta, fissati due numeri reali $alpha,beta$ tali che $alpha+beta!=0$, le 3-4) importano:
3) $"area"(E)=1/(alpha+beta) \int_(+\partial E) -beta y" d"x+alpha x" d"y$ (in particolare, per $alpha=1=beta$ hai $"area"(E)=1/2 \int_(+\partial E) -y" d"x+x" d"y$);
in tal modo rimane provato che le formule di Gauss-Green a-b) consentono di esprimere l'area di una porzione di piano regolare $E$ come integrale di forme differenziali lineari estesi al bordo $\partial E$ orientato in senso antiorario.
non mi e' molto chiara la tua scrittura, puoi applicarla al mio problema??
cmq fermo restando che ho invertito gli estremi degli integrali sopra, io nelle dispense ho come teorema di green proprio quello che ho scritto sopra. ovvio che le scritture si equivalgano, ma non mi e' chiaro il discorso degli alpha e beta..
come faccio a "inserire" l'orientazione nell'integrale??
cmq fermo restando che ho invertito gli estremi degli integrali sopra, io nelle dispense ho come teorema di green proprio quello che ho scritto sopra. ovvio che le scritture si equivalgano, ma non mi e' chiaro il discorso degli alpha e beta..
come faccio a "inserire" l'orientazione nell'integrale??
Mashiro, quello che hai scritto sarebbe il "Teorema di Green" (e non è neanche il teorema di Stokes, se è per questo) se avessi scambiato la posizione del dominio $E$ e della sua frontiera! Il Teorema di Green, scritto bene, è questo
$\int\int_E(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\ dx\ dy=\int_{\partial E}(F_1\ dx+ F_2\ dy)$
dove $E$ è un dominio del piano, mentre il Teorema di Stokes afferma che
$\int\int_S\rot(F)\cdot n\ d\sigma=\int_{\partial S} F\cdot r'(s)\ ds$
dove $F$ è un campo vettoriale in tre dimensioni, $S$ una superficie in $RR^3$, $n$ il versore normale esterno a tale superficie, $r(s)$ la parametrizzazione del contorno di $S$ relativa all'ascissa curvilinea. Da notare (per mashiro) che se $n=k$ ($K$ è la normale al piano $xOy$) e se $S$ è una superficie "piatta" giacente in tale piano, il teorema di Stokes si riduce al Teorema di Green nel piano.
Quello che Gugo voleva dirti (e che tu non hai afferrato) è che per calcolare l'area di $E$ puoi usare una delle tre seguenti formule (che si ottengono dal Teorema di Green come Gugo stesso ha mostrato)
$Area(E)=\int_{\partial E} x\ dy=-\int_{\partial E} y\ dx=\frac{1}{2}\int_{\partial E}(x\ dy- y\ dx)$.
$\int\int_E(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\ dx\ dy=\int_{\partial E}(F_1\ dx+ F_2\ dy)$
dove $E$ è un dominio del piano, mentre il Teorema di Stokes afferma che
$\int\int_S\rot(F)\cdot n\ d\sigma=\int_{\partial S} F\cdot r'(s)\ ds$
dove $F$ è un campo vettoriale in tre dimensioni, $S$ una superficie in $RR^3$, $n$ il versore normale esterno a tale superficie, $r(s)$ la parametrizzazione del contorno di $S$ relativa all'ascissa curvilinea. Da notare (per mashiro) che se $n=k$ ($K$ è la normale al piano $xOy$) e se $S$ è una superficie "piatta" giacente in tale piano, il teorema di Stokes si riduce al Teorema di Green nel piano.
Quello che Gugo voleva dirti (e che tu non hai afferrato) è che per calcolare l'area di $E$ puoi usare una delle tre seguenti formule (che si ottengono dal Teorema di Green come Gugo stesso ha mostrato)
$Area(E)=\int_{\partial E} x\ dy=-\int_{\partial E} y\ dx=\frac{1}{2}\int_{\partial E}(x\ dy- y\ dx)$.
ok, ma per far "scorrere" l'integrale sulla frontiera, e proprio lungo le 3 curve che delimitano E, come faccio??
potreste farmi capire con l'esercizio che ho proposto sopra?
potreste farmi capire con l'esercizio che ho proposto sopra?
Ma provare a disegnarle?
non capisco che risposta sia.. quando l'ho disegnata che ci faccio?
Fai che in questo modo capisci come far scorrere l'integrale sulla frontiera! Il senso di percorrenza è quello orario... e visto chela formula di Green ti porta a calcolare un'integrale di linea, basta che determini una parametrizzazione delle tre curve da cui è composta la frontiera. Fidati, un disegno ti aiuta a capire meglio come comportarti.
con tutto il rispetto, e' da mo' che ho disegnato la figura, ma mi puoi spiegare con i numeretti come si fa operativamente?
[mod="Gugo82"]Ricordo a mashiro che è in vigore questo regolamento; in particolare:
1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.
1.3 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare.
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
Quindi gli altri utenti non sono obbligati a fare i calcoli in tua vece.
I consigli che ti sono stati dati sono anche troppi visto che non hai mostrato alcuno sforzo fatto da te per risolvere il problema (almeno un accenno di calcoli, non dico assai...).
Facci vedere dove trovi difficoltà nell'applicare le formule che ti abbiamo dato, poi qualcuno se vorrà ti darà una mano.
P.S.: Chiunque svolga questo esercizio prima che mashiro abbia mostrato un suo tentativo sarà proposto per una sospensione.[/mod]
1.2 Matematicamente.it forum non è un servizio di consulenza per lo svolgimento di esercizi e problemi.
1.3 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare.
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
Quindi gli altri utenti non sono obbligati a fare i calcoli in tua vece.
I consigli che ti sono stati dati sono anche troppi visto che non hai mostrato alcuno sforzo fatto da te per risolvere il problema (almeno un accenno di calcoli, non dico assai...).
Facci vedere dove trovi difficoltà nell'applicare le formule che ti abbiamo dato, poi qualcuno se vorrà ti darà una mano.
P.S.: Chiunque svolga questo esercizio prima che mashiro abbia mostrato un suo tentativo sarà proposto per una sospensione.[/mod]
pronti..
la frontiera orientata dell'insieme E la posso dividere in 3 curve orientate: $Gamma_1,Gamma_2,Gamma_3$
in questo modo posso scrivere:
$int_(partialE)=1/2[int_(Gamma_1)(z dy-y dz)+int_(Gamma_2)(z dy-y dz)+int_(Gamma_3)(z dy-y dz)]$
giusto?
adesso per inserire la parametrizzazione, posso scegliere 3 parametrizzazioni diverse?
$Gamma_1: z=0$ con ${0<=y<=1}$
$Gamma_2: z=1-y^2 $ con ${(sqrt(2))/2<=y<=1}$
$Gamma_3: z=y^2 $ con ${0<=y<=(sqrt(2)/2}$
ora, ho le mie curve, ma che ci faccio?
il mio problema e' come metterle dentro all'integrale.
p.s. a me interessa davvero poco il risultato di questo esercizio e degli altri che ho proposto qui sul forum, visto che non devo consegnare il compito fatto alla maestra..
il mio problema deriva dal fatto che essendo impossibilitato per problemi miei ad andare a lezione, e non avendo degli esercizi svolti, la maggior parte delle volte di fronte ad un nuovo problema, non so come operativamente procedere alla risoluzione dello stesso.
il fatto di chiedervi di stare sul testo dell'esercizio che propongo, e' per comodita' mia soprattutto nel comprendere i meccanismi che portano aalla risoluzione del problema, e fare domande pertinenti.
un richiamo di quel tipo con tanto di minaccia a chiunque mi aiutasse, mi sembra davvero poco giusto.. in ogni caso, chino la testa alla "dura lex" del mod.
la frontiera orientata dell'insieme E la posso dividere in 3 curve orientate: $Gamma_1,Gamma_2,Gamma_3$
in questo modo posso scrivere:
$int_(partialE)=1/2[int_(Gamma_1)(z dy-y dz)+int_(Gamma_2)(z dy-y dz)+int_(Gamma_3)(z dy-y dz)]$
giusto?
adesso per inserire la parametrizzazione, posso scegliere 3 parametrizzazioni diverse?
$Gamma_1: z=0$ con ${0<=y<=1}$
$Gamma_2: z=1-y^2 $ con ${(sqrt(2))/2<=y<=1}$
$Gamma_3: z=y^2 $ con ${0<=y<=(sqrt(2)/2}$
ora, ho le mie curve, ma che ci faccio?
il mio problema e' come metterle dentro all'integrale.
p.s. a me interessa davvero poco il risultato di questo esercizio e degli altri che ho proposto qui sul forum, visto che non devo consegnare il compito fatto alla maestra..
il mio problema deriva dal fatto che essendo impossibilitato per problemi miei ad andare a lezione, e non avendo degli esercizi svolti, la maggior parte delle volte di fronte ad un nuovo problema, non so come operativamente procedere alla risoluzione dello stesso.
il fatto di chiedervi di stare sul testo dell'esercizio che propongo, e' per comodita' mia soprattutto nel comprendere i meccanismi che portano aalla risoluzione del problema, e fare domande pertinenti.
un richiamo di quel tipo con tanto di minaccia a chiunque mi aiutasse, mi sembra davvero poco giusto.. in ogni caso, chino la testa alla "dura lex" del mod.
allora, cerco di scrivere tutto precisamente cosi non mi/ci incasino/iamo..
teorema di green:
$int_E ((partial F_2)/( partial x)-(partial F_1)/( partial y))=int_(partial E)F_1 dx+F_2 dy$
dove $E$ nel mio caso e' la porzione di spazio compresa tra
$y=0$
$y=1-x^2$
$y=x^2$.
per la risoluzione del problema posso prendere come $F$ la funzione in $\RR^2$ , $F(x,y)=(-y,0)$
in modo tale che il primo integrale sia la misura secondo Riemann di E.
ok, adesso:
$int_(partialE) F_1 dx + F_2 dy=int_(partialE) F_1 dx=int_(partialE) -y dx=-int_(partialE)y dx$
se spezzo $partial E$ in 3 curve ottengo
$partialE=Gamma_1+Gamma_2+Gamma_3$
e sostituisco la y con le formule sopra
$int_(partialE)-ydx=-[int_0^(1)0dx+int_1^((sqrt(2))/2)(1-x^2)(-2x)dx+int_((sqrt(2))/2)^0(x^2)(2x)dx] $
per gli estremi ho messo a sistema le 3 curve vedendo dove si incrociano a due a due.
spero sia corretto adesso...
teorema di green:
$int_E ((partial F_2)/( partial x)-(partial F_1)/( partial y))=int_(partial E)F_1 dx+F_2 dy$
dove $E$ nel mio caso e' la porzione di spazio compresa tra
$y=0$
$y=1-x^2$
$y=x^2$.
per la risoluzione del problema posso prendere come $F$ la funzione in $\RR^2$ , $F(x,y)=(-y,0)$
in modo tale che il primo integrale sia la misura secondo Riemann di E.
ok, adesso:
$int_(partialE) F_1 dx + F_2 dy=int_(partialE) F_1 dx=int_(partialE) -y dx=-int_(partialE)y dx$
se spezzo $partial E$ in 3 curve ottengo
$partialE=Gamma_1+Gamma_2+Gamma_3$
e sostituisco la y con le formule sopra
$int_(partialE)-ydx=-[int_0^(1)0dx+int_1^((sqrt(2))/2)(1-x^2)(-2x)dx+int_((sqrt(2))/2)^0(x^2)(2x)dx] $
per gli estremi ho messo a sistema le 3 curve vedendo dove si incrociano a due a due.
spero sia corretto adesso...
Esattamente! Cosa che avresti ottenuto anche prima sostituendo le parametrizzazioni!
ragazzi scusate non ho capito cosa calcola il teorema di green, se calcola l'area di superfici con buchi o cos'altro... potreste aiutarmi a capire?
"ciampax":
Mashiro, quello che hai scritto sarebbe il "Teorema di Green" (e non è neanche il teorema di Stokes, se è per questo) se avessi scambiato la posizione del dominio $E$ e della sua frontiera! Il Teorema di Green, scritto bene, è questo
$\int\int_E(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\ dx\ dy=\int_{\partial E}(F_1\ dx+ F_2\ dy)$
dove $E$ è un dominio del piano, mentre il Teorema di Stokes afferma che
$\int\int_S\rot(F)\cdot n\ d\sigma=\int_{\partial S} F\cdot r'(s)\ ds$
dove $F$ è un campo vettoriale in tre dimensioni, $S$ una superficie in $RR^3$, $n$ il versore normale esterno a tale superficie, $r(s)$ la parametrizzazione del contorno di $S$ relativa all'ascissa curvilinea. Da notare (per mashiro) che se $n=k$ ($K$ è la normale al piano $xOy$) e se $S$ è una superficie "piatta" giacente in tale piano, il teorema di Stokes si riduce al Teorema di Green nel piano.
Quello che Gugo voleva dirti (e che tu non hai afferrato) è che per calcolare l'area di $E$ puoi usare una delle tre seguenti formule (che si ottengono dal Teorema di Green come Gugo stesso ha mostrato)
$Area(E)=\int_{\partial E} x\ dy=-\int_{\partial E} y\ dx=\frac{1}{2}\int_{\partial E}(x\ dy- y\ dx)$.
Ciao volevo farti una domanda! Quando devo usare le formule di Gauss-Green per il calcolo di un area, posso usare una qualsiasi delle 3, ottenendo lo stesso risultato, oppure no? Grazie!
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