Teorema di Gauss Green - sbaglio io o la prof???

[Aint]

salve a tutti, allora mi ritrovo ad aver perso ore su un esercizio che direi esser semplice, mi spiego, io lo risolvo tranquillamente, poi guardo la soluzione della prof e non combacia... allora guardo il suo svolgimento, rimango un po' stranito, lo analizzo e lo rifaccio punto per punto e mi sembra che commetta qualche errore!!! (spariscono dei segni, moltiplica tutto per 1/2 invece che solo una parte) ho provato a calcolare i suoi integrali con wwolfram alpha e parrebbero darmi ragione.. vi posto il testo dell'esercizio:

Integrare la funzione

$f(x,y)=2xyln(y^2+1)$ sull'insieme

$E={(x;y)in r^2: x>=0, -1<=y<=sqrt(1-x^2)} $

dunque questo insieme sarebbe:

$0<=x<=1 ; -1<=y<=sqrt(1-x^2)$

che sarebbe una semicirconferenza con centro l'origine, raggio 1 disegnata sul primo e quarto quadrante..

il verso di percorrenza è antiorario.

bene per l teorema di gauss green, vedo che la mia funzione la posso integrare rispetto a x e quindi ottenere

$f=x^2yln(1+y^2)$

che per ottenere l'area (insomma calcolare l'integrale doppio tramite un integrale singolo) ho la formula:

$int f dy$

dove il bordo parametrizzato è:


$r1= x=0 ; y=-t ; t in [-1, 1]$ il "$-$" nel $t$ è perché così il verso di percorrenza è coerente (antiorario) ee vediamo subito che con x=0 mi manda a 0 la funzione e quindi evito di calcolarla.

$r2= x=t ; y= sqrt(1-t^2)$ ; $t in [0, 1]$
e
$r'2= x=1, y= -t/sqrt(1-t^2)$ (Il mio dy per intenderci)

quindi l'integrale diverrà:


$int -t^3ln(2-t^2)dt$ definito tra 0 e 1 (e qua la prof ad esempio me lo scrive senza il -)

dopo svolgendo i calcoli a me viene:


$5/8-ln(2)$

e alla prof che inserisce 1/2 "extra" in una parte dell'integrale (almeno secondo me) viene

$-1/8$

ora nel caso fosse giusto il suo risultato, potreste spiegarmi il perché??? o.O altrimenti mi confermate che è giusto il mio o se ho sbagliato qualcosa cosa ho sbagliato???? grazie!!

[alle.fabbri]

Eh ma secondo me il dominio è diverso. Tu dici che il dominio la mezza circonferenza che sta nel semipiano delle ascisse positive. Però le condizioni non ti dicono che devi stare dentro alla circonferenza. Scrivere
[tex]y < \sqrt{1-x^2}[/tex]
è diverso da
[tex]x^2+y^2 < 1[/tex]
La prima ti identifica tutta la parte di piano che sta sotto all'arco di circonferenza che sta nel semipiano positivo delle ordinate; mentre la seconda ti individua l'interno della circonferenza. Considera per esempio il punto [tex](0.99,-0.99)[/tex]. Appartiene al dominio perchè
[tex]0<0.99 <1[/tex]
[tex]-1<-0.99<\sqrt{1-(0.99)^2}[/tex]
però non sta nella circonferenza perchè
[tex](0.99)^2+(-0.99)^2 \approx 1.96 > 1[/tex]

[Aint]

si ma infatti è stato parametrizzato il bordo!!!

anche la prof lo parametrizza allo sttesso modo!! fin li siamo concordi è dopo che secondo me lei ci infila degli errori di calcolo proprio... l'impostazione che ho è identica... anche lei imposta $x=t e y=sqrt(1-t^2) t in [0, 1]$

[alle.fabbri]

Si ma il bordo è diverso. Nel primo quadrante è il quarto di circonferenza, nel quarto è il bordo del quadrato di spigoli [tex](1,0) (1,-1)[/tex]e[tex](0,-1)[/tex]. Se fai così torna [tex]-1/8[/tex]. E poi cmq la circonferenza non ti conviene parametrizzarla così ma al contrario, cioè [tex]x=\sqrt{1-t^2}[/tex] e [tex]y=t[/tex] per [tex]t \in [0,1][/tex], vista la forma della funzione i conti sono più semplici.

[Aint]

scusa ma allora perché la prof l'ha parametrizzato in quel modo????? cioè uguale a me??? e dove hai tirato fuori il quadrato?? o.O poi scusa ma a me le condizioni

$x>=0 ; -1 <=y<=sqrt(1-x^2) $
mi fan disegnare una circonferenza di raggio 1 con x che va da 0 a 1 e y da -1 a 1 non so dove tu veda il quadrato!!

[Aint]

hai ragione, ho capito dove ho sbagliato..... adesso rifaccio tutto e vedo se mi viene....


Perfetto amico!!! mi viene!!1

avevo sbagliato che con la conizone disegnavo una circonferenza completa.... invece non è + o - radice.. dunque era solo la parte sopra e sotto veniva il "famigerato" quadrato che dicevi!! =)


Grazie mille!!!!