Teorema di Gauss-Green

[anddab]

Ciao a tutti. Oggi vorrei chiedere il vostro aiuto per un altro argomento di Analisi II, ovvero la verifica del teorema di Gauss-Green nel piano.

L'esercizio è il seguente:

Mediante la formula dell’area (applicazione della formula di Gauss–Green sul piano), calcolare l’area della regione piana
$ A ={ (x,y) ∈ R^2 : |x| ≤ y, x^2 + y^2 ≤ 9} $
Sono richiesti l’enunciato della formula dell’area e il disegno della regione A, opportunamente commentati.

Lasciando perdere il disegno del dominio, non riesco a capire come implementare il teorema di Gauss-Green, che sappiamo dice (nelle ipotesi del teorema di Stokes nel piano) che: $ int int _D (partial _xF_2 - partial_yF_1)dxdy=int_(partialD)F_1dx + F_2dy $

Il mio problema vero e proprio è che non riesco a capire come ottenere le funzioni F e G da implementare nel teorema...
Grazie a tutti!

[ciampax]

Guarda che ti chiede di calcolare l'area: l'integrale che ti permette di farlo è

$\int\int_A dx\ dy$

Ora, riesci a riscrivere questo in termini del teorema che hai scritto tu?

[anddab]

Quindi praticamente dovrei scegliere degli opportuni valori per F e G in modo tale che derivati e sommati (cioè $ ∂xF2−∂yF1 $ ) siano uguali a 1?

[ciampax]

Yes. E questo ti porta a scrivere le ben note Formule di Green:

$\int\int_A dx\ dy=1/2 \int_{\partial A}(x\ dy-y\ dx)=\int_{\partial A} x\ dy=\int_{\partial A} -y\ dx$

[anddab]

Perfetto! Grazie mille per la risposta! Come sempre molti gentili