Teorema di Fubini per integrali impropri
Buongiorno a tutti,
il teorema di Fubini, nell'ambito dell'integrazione secondo Riemann, afferma che se esiste l'integrale di una certa funzione in \(\displaystyle X\times Y \) (\(\displaystyle X \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e \(\displaystyle Y \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^m) \), allora esistono gli integrali iterati, prima su \(\displaystyle X \) e poi su \(\displaystyle Y \), o viceversa.
Mi chiedevo se questo teorema vale ancora quando gli integrali diventano impropri, ad esempio su tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m \). C'è bisogno di qualche ipotesi extra per farlo funzionare in tal caso?
Facendo qualche prova, mi sembra di intuire che si tratti della convergenza uniforme dei singoli integrali 'parziali', rispetto alle altre variabili non integrate, ma non ne sono convinto.
Qualcuno ne sa di più?
Grazie in anticipo.
PS: l'obiettivo è rimanere nell'ambito dell'integrazione di Riemann, senza andare in quella di Lebesgue per risolvere il problema.
il teorema di Fubini, nell'ambito dell'integrazione secondo Riemann, afferma che se esiste l'integrale di una certa funzione in \(\displaystyle X\times Y \) (\(\displaystyle X \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e \(\displaystyle Y \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^m) \), allora esistono gli integrali iterati, prima su \(\displaystyle X \) e poi su \(\displaystyle Y \), o viceversa.
Mi chiedevo se questo teorema vale ancora quando gli integrali diventano impropri, ad esempio su tutto \(\displaystyle \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m \). C'è bisogno di qualche ipotesi extra per farlo funzionare in tal caso?
Facendo qualche prova, mi sembra di intuire che si tratti della convergenza uniforme dei singoli integrali 'parziali', rispetto alle altre variabili non integrate, ma non ne sono convinto.
Qualcuno ne sa di più?
Grazie in anticipo.
PS: l'obiettivo è rimanere nell'ambito dell'integrazione di Riemann, senza andare in quella di Lebesgue per risolvere il problema.
Risposte
Dovrebbe essere come dici, prova a ricondurti al caso proprio.
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