Teorema di Fermat [urgente]
Ho dei dubbi a riguardo la dimostrazione. Vi riporto le ipotesi
IPOTESI
f:[a,b] --> R
p di accumulazione a dx e sx per [a,b]
p appartiene ad ]a,b[ ed è punto di max o min
f deriv in p
TESI
f'(p) = 0
DIMOSTRAZIONE
Posto che sia p un p.to di minimo relativo, f(p)<= f(x) per ogni x appartenente a I(p).
Ora poichè f è un minimo relativo, il rapporto incrementale di f relativo ad un qualunque punto è
>= 0 se x>p
<=0 se x
Siccome per ipotesi f è deriv in p, esiste il limite per x che tende a p dalla destra,.... e dalla sinistra...del rapporto incrementale..
ECCO DA QUì SI TIRA IN BALLO IL TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO... QUALCUNO POTREBBE CORREGGERE TALE DIMOSTRAZIONE E COMPLETARLA PER FAVORE? oVVIAMENTE CON LO STESSO METODO CON CUI HO INIZIATO...
DOMANDA 2: che caratteristica hanno le funzioni il cui rapporto incrementale ha segno costante???
Ho l'esame venerdì, help... ultimi dubbicini
IPOTESI
f:[a,b] --> R
p di accumulazione a dx e sx per [a,b]
p appartiene ad ]a,b[ ed è punto di max o min
f deriv in p
TESI
f'(p) = 0
DIMOSTRAZIONE
Posto che sia p un p.to di minimo relativo, f(p)<= f(x) per ogni x appartenente a I(p).
Ora poichè f è un minimo relativo, il rapporto incrementale di f relativo ad un qualunque punto è
>= 0 se x>p
<=0 se x
Siccome per ipotesi f è deriv in p, esiste il limite per x che tende a p dalla destra,.... e dalla sinistra...del rapporto incrementale..
ECCO DA QUì SI TIRA IN BALLO IL TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO... QUALCUNO POTREBBE CORREGGERE TALE DIMOSTRAZIONE E COMPLETARLA PER FAVORE? oVVIAMENTE CON LO STESSO METODO CON CUI HO INIZIATO...
DOMANDA 2: che caratteristica hanno le funzioni il cui rapporto incrementale ha segno costante???
Ho l'esame venerdì, help... ultimi dubbicini
Risposte
I due limiti a sinistra e a destra di p,in un opportuno
I(p), hanno lo stesso segno del corrispondente rapp.increm.
(per il teorema della permanenza del segno)
e quindi sono l'uno <=0 e l'altro >=0.D'altra parte questi
due limiti devono essere uguali per la derivabilita' di f in
p e dunque:f'(p)=0.
Le f che hanno rapporto inc. di segno costante nel loro
insieme di definizione hanno la caratteristica
di essere strettamente crescenti ( o strettamente decrescenti)
in tale insieme e quindi sono anche invertibili in esso.
Salvo errori.
karl.
Modificato da - karl il 23/02/2004 23:49:37
I(p), hanno lo stesso segno del corrispondente rapp.increm.
(per il teorema della permanenza del segno)
e quindi sono l'uno <=0 e l'altro >=0.D'altra parte questi
due limiti devono essere uguali per la derivabilita' di f in
p e dunque:f'(p)=0.
Le f che hanno rapporto inc. di segno costante nel loro
insieme di definizione hanno la caratteristica
di essere strettamente crescenti ( o strettamente decrescenti)
in tale insieme e quindi sono anche invertibili in esso.
Salvo errori.
karl.
Modificato da - karl il 23/02/2004 23:49:37
che caratteristica hanno le funzioni il cui rapporto incrementale ha segno costante???
io direi ' sono monotone' .. o sbaglio?
io direi ' sono monotone' .. o sbaglio?
Una f. strettamente crescente e' anche
monotona, mentre il contrario non e' sempre vero.
Un funzione monotona puo' anche essere (ad esempio)
NON DECRESCENTE.
Ho supposto il segno costante positivo,se invece tale segno fosse quello negativo bisognerebbe sostituire "strettamente crescente"
con "strettamente decrescente".
Saluti da karl.
Modificato da - karl il 23/02/2004 23:47:34
monotona, mentre il contrario non e' sempre vero.
Un funzione monotona puo' anche essere (ad esempio)
NON DECRESCENTE.
Ho supposto il segno costante positivo,se invece tale segno fosse quello negativo bisognerebbe sostituire "strettamente crescente"
con "strettamente decrescente".
Saluti da karl.
Modificato da - karl il 23/02/2004 23:47:34
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