Teorema di Fermat, capirlo osservandolo graficamente?

[visind]

Salve ragazzi, come da titolo ho difficoltà nel capire questo teorema. Come se fosse l'unico....uff......

Allora quello che mi sembra assurdo leggendo gli appunti è:

$f(x_0)$ max relativo $f(x_0+h)<=f(x_0)$
Considerando $x_0$ punto di massimo relativo $EE$ $\delta>0$ per cui
$f(x_0+h)<=f(x_0)$ per ogni $h: h<|\delta|$

Abbiamo quindi i due casi:

$f[(x_0 + h) - f(x_0)] / h <=0$ se $0 $f[(x_0 + h) - f(x_0)] / h >=0$ se $-\delta
Quello che mi chiedo io è:

Come fa $f[(x_0 + h) - f(x_0)] / h <=0$ se $0
Concettualmente come dire $(x+2)-(x)<0$

Graficamente forse riuscirei a capirlo.

[ViciousGoblin]

"visind":
Quello che mi chiedo io è:

Come fa $f[(x_0 + h) - f(x_0)] / h <=0$ se $0
Concettualmente come dire $(x+2)-(x)<0$

Graficamente forse riuscirei a capirlo.

Ti stai scordando $f$ che e' applicata a $x_0+h$ e a $x_0$. Per esempio se $f(x)=1-x^2$, che ha massimo in zero, la relazione dice
$\frac{[1-(0+h)^2]-[1-(0)^2]}{h}\leq0$ (per $h>0$)

[Injo]

Attenzione, $f(x_0+h) - f(x_0)$ è diverso da $f(x_0 + h - x_0)$. Infatti se avessimo ad esempio $f(x)=x^2$ allora $f(x_0+h) - f(x_0) = (x_0+h)^2 - x_0^2 = h^2 + 2x_0h != h^2 = (x_0 + h - x_0)^2 = f(x_0 + h - x_0)$.

Notando questo, puoi vedere che $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} <= 0$ se $0 < h < \delta$ in quanto, essendo $h$ positivo ed essendo $f(x_0)$ il massimo relativo, si ha che $f(x_0)>= f(x_0+h) $ quindi la differenza $f(x_0 + h) -f(x_0)$ è negativa. Ottieni quindi un rapporto di una quantità negativa (o nulla) con una positiva, quindi la frazione è negativa (o nulla).

Ad ugual modo è possibile ragionare per $\-delta < h <0$.

[visind]

Dunque, l'esempio $f(x)=1-x^2$ in cui abbiamo come massimo $0$ è chiaro.
Mentre quello in cui abbiamo $f(x)=x^2$ no

Scusate ma nel rapporto incrementale, $h$ è l'incremento, la variazione di $f(x_0)$ che passa la valore di $f(x_0+h)$.

Nell'esempio $f(x)=x^2$ proprio non riesco a verificare la negatività (o nullità) del numeratore.
Spero riusciate ad aiutarmi.
Grazie ancora!

[ViciousGoblin]

"visind":Dunque, l'esempio $f(x)=1-x^2$ in cui abbiamo come massimo $0$ è chiaro.
Mentre quello in cui abbiamo $f(x)=x^2$ no

Scusate ma nel rapporto incrementale, $h$ è l'incremento, la variazione di $f(x_0)$ che passa la valore di $f(x_0+h)$.

Nell'esempio $f(x)=x^2$ proprio non riesco a verificare la negatività (o nullità) del numeratore.
Spero riusciate ad aiutarmi.
Grazie ancora!

Forse il problema e' che nel caso di $f(x)=x^2$ lo zero e' un minimo e quindi i segni si rovesciano ?
$f(0+h)-f(0)=h^2>0$ se $h\ne 0$, per cui dividendo per $h$ il rapporto incrementale risulta positivo sugli $h>0$ e negativo sugli $h<0$.

Ti torna?

[visind]

Adesso comincia ad essere chiaro...si si......
Grazie infinite!!!

[visind]

Vi chiedo un'altra cosa, del teorema.
Noi procediamo col verificare la derivabilità in un punto di max o di min della funz?
Dopodichè essendo una funzione derivabile sempre continua, dimostriamo come $D f(x_0) = 0$ ?
Giusto?

[ViciousGoblin]

"visind":Vi chiedo un'altra cosa, del teorema.
Noi procediamo col verificare la derivabilità in un punto di max o di min della funz?
Dopodichè essendo una funzione derivabile sempre continua, dimostriamo come $D f(x_0) = 0$ ?
Giusto?

Ehhm, credo di no.

Nel teorema di Fermat (che so io) bisogna mettere come ipotesi che $f$ sia dervabile in $x_0$ (e che $x_0$ sia "interno" al dominio di $f$). Dopo di che - facendo i conti
sui rapporti incrementali - si vede che $f'(x_0)$ (che esiste per ipotesi) fa zero.

Eventualmente mi scrivi l'enunciato del teorema ?

[visind]

Sia $f$ una funzione definita in [a,b] e sia $x_0$ un punto di massimo o di minimo.
Se la funz è derivabile in $x_0$ avremo che $D f(x_0$) = 0

Questa è la definizione.

[visind]

Nel teorema di Fermat (che so io) bisogna mettere come ipotesi che $f$ sia dervabile in $x_0$ (e che $x_0$ sia "interno" al dominio di $f$). Dopo di che - facendo i conti
sui rapporti incrementali - si vede che $f'(x_0)$ (che esiste per ipotesi) fa zero.

Si si....tutto esatto in più da dire che $x_0$ è un punto di massimo o di minimo (relativo).

[ViciousGoblin]

"visind":Sia $f$ una funzione definita in [a,b] e sia $x_0$ un punto di massimo o di minimo.
Se la funz è derivabile in $x_0$ avremo che $D f(x_0$) = 0

Questa è la definizione.

Volevi dire questo e' il teorema

Come vedi dice "se la funz e' derivabile in $x_0$" - quindi si chiede a priori la derivabilita' (che non puo' essere ricavata dal fatto che il punto e' di max/min rel.)
Io avrei detto che nelle ipotesi ci deve essere anche $a
Comunque hai capito quanto ho detto nel messaggio precedente ? cioe' le mie obiezioni a quanto avevi scritto ?

[visind]

Pensavo di aver capito...invece peggio di prima.

Per esempio, come risolvere con $f(x) = x^3$?



p.s certo che l'ho capito. Ti ringrazio

[ViciousGoblin]

"visind":Pensavo di aver capito...invece peggio di prima.

Per esempio, come risolvere con $f(x) = x^3$?

Se $f(x)=x^3$ non c'e' ne' un massimo ne' un minimo.

Il teorema dice $x_0$ di max/min $\Rightarrow$ $f'(x_0)=0$

ma non il viceversa : ci sono punti con derivata nulla che non sono ne' di max, ne' di min, (i flessi)

[visind]

Se $f(x)=x^3$ non c'e' ne' un massimo ne' un minimo.

Il teorema dice $x_0$ di max/min $\Rightarrow$ $f'(x_0)=0$

Giusto

Un'altra cosa, si parla di Minimo o Massimo relativo, per esempio in $f(x) =x^2$ lo $0$, va considerato minimo assoluto, ma anche minimo relativo in un intervallo o intorno...giusto?

[ViciousGoblin]

"visind":

Un'altra cosa, si parla di Minimo o Massimo relativo, per esempio in $f(x) =x^2$ lo $0$, va considerato minimo assoluto, ma anche minimo relativo in un intervallo o intorno...giusto?

Beh e' evidente che quando si dice "$x_0$ punto di massimo/minimo relativo" si intende che $x_0$ puo' anche essere un massimo/minimo assoluto, dato che i max/min assoluti
sono anche max/min relativi.

[visind]

A breve posterò un grafico con tanto di dimostrazione, così mi dite se ho le idee un pò chiare...

[visind]

Dunque. (Adoperando $f(x)$ invece che $f(x_0-h)$ non so perchè ma mi semplifica le cose)

Cominciamo col supporre $x_0$ come punto di massimo di $f$. Di conseguenza

$f(x_0) - f(x) >= 0$ per ogni $x$ appartenente ad $A$ dove $A = [x_0-\epsilon,x_0+\epsilon]

Quindi

$[f(x) - f(x_0)] / (x-x_0) <=0$ per ogni $x$ appartenente a $[x_0,+\epsilon]
$[f(x) - f(x_0)] / (x-x_0) >=0$ per ogni $x$ appartenente a $[-\epsilon, x_0]

e quindi

$\lim_{x \to \x_0+}[f(x) - f(x_0)] / (x-x_0) <= 0$
$\lim_{x \to \x_0-}[f(x) - f(x_0)] / (x-x_0) >= 0$

Essendo $f$ derivabile in $x_0$ per ipotesi, avremo
$\lim_{x \to \x_0}[f(x) - f(x_0)] / (x-x_0) = 0$




Nell'esempio (immagine) ho preso in considerazione un'ipotetica parabola $f(x) = -x^2$ ( so che in realtà non corrisponde, ma l'ho arrangiata cosi)

Il problema è che risolvendo con il rapporto incrementale faccio confusione con i segni in quanto la $x$ già è negativa.

C'è qualcuno che ha tempo di dimostrarmelo?

[visind]

Scusate, se posso chiedervi ho un dubbio.

Se noi avessimo ad esempio $f(x) = x^2$

Dunque nel rapporto incrementale $[f(x) - f(x_0)] / (x-x_0)$ al denominatore la $x-x_0$ NON va calcolata al quadrato come vuole la funzione e come succede al numeratore...giusto?