Teorema di Fermat

[essenza89]

Ho un problema con il Teorema di Fermat in più variabili, esso afferma che se $x_0$ è un punto di estremo locale per $f$, allora $x_0$ è un punto critico per $f$, cioè $nablaf(x_0)=vec0$, !MA! non mi garantisce che i punti critici di una funzione siano tutti estremi locali!
Non c'è la doppia implicazione..
quindi che teorema mi garantisce che quando ricerco i punti critici di una funzione sto cercando gli estremi locali??

grazie in anticipo

[klarence1]

Non ti garantisce che i punti critici di una funzione siano estremi locali perchè in generale non è vero che i punti critici sono estremi locali. Non vale nemmeno in una variabile (prendi per esempio la funzione $y=x^3$.
Prendi per esempio nella funzione $f(x,y)=y^3$ lo zero è un punto critico ma non è estremo locale. Alcune condizioni sulla matrice essiana possono garantirti che un punto critico sia di estremo locale.

[ViciousGoblin]

Direi che il punto di vista e' (di solito) questo: se cerchi gli estremi locali di una certa funzione $f$ (supponiamola differenziabile) su un dominio $D$ a causa del teorema di Fermat sai che
PUOI RESTRINGERE la tua ricerca ai punti stazionari interni a $D$ PIU' i punti della frontiera di $D$. Ti trovi dunque i punti stazionari interni e analizzi il comportamento della $f$ vicino a tali punti: per questo scopo il più delle volte ti aiuta la segnatura della matrice Hessiana di $f$ (nei casi più sfortunati, in cui non esista l' Hessiano o questo abbia autovalore zero, devi un po' arrangiati con qualche idea furba). In questo modo tra tutti i punti stazionari cerchi di individuare quelli che sono estremi relativi/assoluti e quelli che non lo sono.
Per quanto riguarda i punti del bordo (che in una variabile sono pochi e si possono guardare uno per uno) il discorso si allunga ....