Teorema di Eulero

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, ho una difficoltà nel teorema di Eulero, che in soldoni dice che se $f:ArarrRR$ è differenziabile sul cono aperto $A$, allora essa è omogenea di grado $alpha$ sse vale $(nablaf(x),x)=alphaf(x)$.

Per dimostrarlo, si fissa $x inA$ e si considera $F:(0,+oo)rarrRR$ definita da $F(t)=(f(tx))/t^alpha$. Si vede quindi che $f(tx)=t^alphaf(x)$ sse $F(t)$ è costante su $(0,+oo)$, ovvero uguale a $f(x)$. Quindi $F'(t)=0$.

Il mio problema è di calcolo, nell'applicazione della regola della catena per calcolare la derivata, che sarebbe $F'(t)=1/t^(2alpha)[sum_(i=1)^n f_(x_i)(tx)x_it^alpha-alphat^(alpha-1)f(tx)]$.

Il resto della dimostrazione mi è chiaro. Qualcuno me lo sa spiegare?

[Weierstress]

E' semplicemente la derivazione di un rapporto per una funzione di una variabile reale: se $s(y)=(g(y))/(h(y))$ allora $s'(y)=1/(h(y))^2[g'(y)h(y)-h'(y)g(y)]$. (ho cambiato le solite lettere per evitare confusione).

Nel caso presente si ha $1/(h(y))^2=1/t^(2alpha)$, $g'(y)=f'(tx)=sum_i^n(delf)/(delx_i)(tx)x_i$, e $h'(y)=alphat^(alpha-1)$.

Mettendo tutto insieme si ha $ F'(t)=1/t^(2alpha)[sum_(i=1)^n f_(x_i)(tx)x_it^alpha-alphat^(alpha-1)f(tx)] $