Teorema di esistenza n-ma nel campo complessi
Buonasera amici, vi riporto la dimostrazione del Teorema di estrazione di radice n-ma nel campo complesso.
Sia \(\displaystyle z=\rho(cos(\theta)+isen(\theta) \), dove posto \(\displaystyle z=[\rho,\theta] \), per sintetizzare.
Quindi sia \(\displaystyle z=[\rho, \theta] \) un numero complesso non nullo. Determiniamo \(\displaystyle \omega=[r,\phi] \) , in modo tale che si abbia \(\displaystyle \omega^n=[r^n, n\phi]=z=[\rho,\theta] \).
Si ha che due numeri complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e se i loro argomenti differiscono per un multiplo di \(\displaystyle 2\pi \), ovvero :
1) \(\displaystyle r^n= \rho \)
1.1) \(\displaystyle n\phi-\theta=2k\pi \) per un opportuno \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \), quindi i complessi sono
\(\displaystyle w_k=[\rho^{\tfrac{1}{n}}, \tfrac{\theta+2k\pi}{n}] \) con \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \), sono tutte radici n-me di \(\displaystyle z \).
Se \(\displaystyle k_1,k_2 \) sono equivalenti modulo \(\displaystyle n \) ovvero se esiste \(\displaystyle h\in\mathbb{Z} \) tale che
2) \(\displaystyle k_2-k_1=nh \)
risulta
3) \(\displaystyle \tfrac{\theta+2k_2\pi}{n}-\tfrac{\theta+2k_1\pi}{n}=2h\pi \).
Per 1) e 1.1) si ha \(\displaystyle wk_1=wk_2 \).Quindi le radici n-me distinte di \(\displaystyle z \) sono \(\displaystyle n \) tante quante le classi di equivalenza modulo \(\displaystyle n \).
Il mio blocco è sulla 2) che mi fa pensare che due radici sono uguali alla classe di equivalenza modulo \(\displaystyle n \).
Grazie infinitamente per la risposta.
Sia \(\displaystyle z=\rho(cos(\theta)+isen(\theta) \), dove posto \(\displaystyle z=[\rho,\theta] \), per sintetizzare.
Quindi sia \(\displaystyle z=[\rho, \theta] \) un numero complesso non nullo. Determiniamo \(\displaystyle \omega=[r,\phi] \) , in modo tale che si abbia \(\displaystyle \omega^n=[r^n, n\phi]=z=[\rho,\theta] \).
Si ha che due numeri complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e se i loro argomenti differiscono per un multiplo di \(\displaystyle 2\pi \), ovvero :
1) \(\displaystyle r^n= \rho \)
1.1) \(\displaystyle n\phi-\theta=2k\pi \) per un opportuno \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \), quindi i complessi sono
\(\displaystyle w_k=[\rho^{\tfrac{1}{n}}, \tfrac{\theta+2k\pi}{n}] \) con \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \), sono tutte radici n-me di \(\displaystyle z \).
Se \(\displaystyle k_1,k_2 \) sono equivalenti modulo \(\displaystyle n \) ovvero se esiste \(\displaystyle h\in\mathbb{Z} \) tale che
2) \(\displaystyle k_2-k_1=nh \)
risulta
3) \(\displaystyle \tfrac{\theta+2k_2\pi}{n}-\tfrac{\theta+2k_1\pi}{n}=2h\pi \).
Per 1) e 1.1) si ha \(\displaystyle wk_1=wk_2 \).Quindi le radici n-me distinte di \(\displaystyle z \) sono \(\displaystyle n \) tante quante le classi di equivalenza modulo \(\displaystyle n \).
Il mio blocco è sulla 2) che mi fa pensare che due radici sono uguali alla classe di equivalenza modulo \(\displaystyle n \).
Grazie infinitamente per la risposta.
Risposte
Qual è la domanda? Ci sono esattamente $n$ radici $n$-esime di $z$, questo procedimento le determina tutte.
Grazie per la risposta. Il mio dubbio è su 2) dove non capisco il valore n, da che cosa viene determinato.
Beh, $n$ è l'indice della radice. Insomma, $n=2$ per la radice quadrata, $n=3$ per quella cubica, e così via...
Buongiorno, il mio problema è quando dice :
Se \(\displaystyle k_1,k_2 \) sono equivalenti modulo \(\displaystyle n \), il che significa \(\displaystyle k_1nk_2 \) ed \(\displaystyle n \) sta per relazione di equivalenza. Quindi non vedo il collegamento tra i due concetti, cioè come è possibile che la differenza tra i due elementi, mi dia la relazione di equivalenza per qualche valore \(\displaystyle h \).
Grazie
Se \(\displaystyle k_1,k_2 \) sono equivalenti modulo \(\displaystyle n \), il che significa \(\displaystyle k_1nk_2 \) ed \(\displaystyle n \) sta per relazione di equivalenza. Quindi non vedo il collegamento tra i due concetti, cioè come è possibile che la differenza tra i due elementi, mi dia la relazione di equivalenza per qualche valore \(\displaystyle h \).
Grazie
Forse ho capito !:D 
Il mio dubbio di prima era sul fatto che, come è possibile che due numeri \(\displaystyle k_1, k_2 \) equivalenti modulo \(\displaystyle n \), la loro differenza mia dia la relazione di equivalenza \(\displaystyle n \) per un certo \(\displaystyle h\in\ \mathbb{Z} \), ho trovato che la relazione di equivalenza è una relazione di congruenza modulo \(\displaystyle n \), la quale dice che:
Siano \(\displaystyle k_1, k_2, n : n \ne 0 \) diciamo che \(\displaystyle k_1 \) è congruo modulo \(\displaystyle n \) se la differenza tra \(\displaystyle k_1 \) e \(\displaystyle k_2 \) è un multiplo di \(\displaystyle n \) che in questo caso sarà vera per un certo \(\displaystyle h \).
Da qui segue la dimostrazione :
la quale dimostra che presi due numeri\(\displaystyle k_1 \) e \(\displaystyle k_2 \) congrui modulo \(\displaystyle n \) la loro differenza è multiplo di \(\displaystyle n \), quindi
\(\displaystyle k_1-k_2= nh \) , per un certo \(\displaystyle h\in\mathbb{Z} \) il che risulta \(\displaystyle (\tfrac{\theta +2k_2}{n}-\tfrac{\theta +2k_1}{n}) \), semplificando un po' si ottiene un multiplo di un angolo di \(\displaystyle 2h\pi \) e quindi lo stesso.
Allora la dimostrazione ci dice che la radice sono \(\displaystyle n-1 \) tutte distinte... E se non ci crediamo riparte la dimostrazione
Spero di aver dedotto bene
Grazie infinitamente per le risposte
Il mio dubbio di prima era sul fatto che, come è possibile che due numeri \(\displaystyle k_1, k_2 \) equivalenti modulo \(\displaystyle n \), la loro differenza mia dia la relazione di equivalenza \(\displaystyle n \) per un certo \(\displaystyle h\in\ \mathbb{Z} \), ho trovato che la relazione di equivalenza è una relazione di congruenza modulo \(\displaystyle n \), la quale dice che:
Siano \(\displaystyle k_1, k_2, n : n \ne 0 \) diciamo che \(\displaystyle k_1 \) è congruo modulo \(\displaystyle n \) se la differenza tra \(\displaystyle k_1 \) e \(\displaystyle k_2 \) è un multiplo di \(\displaystyle n \) che in questo caso sarà vera per un certo \(\displaystyle h \).
Da qui segue la dimostrazione :
la quale dimostra che presi due numeri\(\displaystyle k_1 \) e \(\displaystyle k_2 \) congrui modulo \(\displaystyle n \) la loro differenza è multiplo di \(\displaystyle n \), quindi
\(\displaystyle k_1-k_2= nh \) , per un certo \(\displaystyle h\in\mathbb{Z} \) il che risulta \(\displaystyle (\tfrac{\theta +2k_2}{n}-\tfrac{\theta +2k_1}{n}) \), semplificando un po' si ottiene un multiplo di un angolo di \(\displaystyle 2h\pi \) e quindi lo stesso.
Allora la dimostrazione ci dice che la radice sono \(\displaystyle n-1 \) tutte distinte... E se non ci crediamo riparte la dimostrazione
Spero di aver dedotto bene
Grazie infinitamente per le risposte
Esattamente.
Osserva che la relazione di congruenza modulo $n$, che si definisce ponendo:
\[
k_1\equiv_n k_2 \quad \Leftrightarrow\ \exists h \in \mathbb{Z}:\ k_1-k_2 =hn
\]
(meno formalmente, due numeri sono congruenti modulo $n$ se la loro differenza è un multiplo -intero- di $n$), è una relazione di equivalenza (cioè è riflessiva, simmetrica e transitiva).
Quindi la dimostrazione del fatto che due radici $n$-esime corrispondenti a numeri $k_1$ e $k_2$ congruenti modulo $n$ siano uguali segue come hai detto tu.
Per quanto riguarda il numero di radici distinte, puoi ragionare come segue.
Si dimostra (e puoi provarci pure da solo) che ogni numero è equivalente ad uno ed uno soltanto dei possibili resti della divisione per $n$; dato che i possibili resti della divisione per $n$ sono $0,1,2,... ,n-1$, ciò comporta che ogni numero $k in ZZ$ individua una radice uguale ad una delle $n$ radici già individuate da $0,1,2,... , n-1$.
Quindi le radici $n$-esime distinte di un numero complesso sono al massimo tante quante i numeri $0,1,2,... ,n-1$, cioè $n$.
Per terminare, ti basta far vedere che le radici corrispondenti ai numeri $0,1,2,... ,n-1$ sono tutte diverse tra loro. Ma ciò è evidente e lo puoi vedere in due modi:
Osserva che la relazione di congruenza modulo $n$, che si definisce ponendo:
\[
k_1\equiv_n k_2 \quad \Leftrightarrow\ \exists h \in \mathbb{Z}:\ k_1-k_2 =hn
\]
(meno formalmente, due numeri sono congruenti modulo $n$ se la loro differenza è un multiplo -intero- di $n$), è una relazione di equivalenza (cioè è riflessiva, simmetrica e transitiva).
Quindi la dimostrazione del fatto che due radici $n$-esime corrispondenti a numeri $k_1$ e $k_2$ congruenti modulo $n$ siano uguali segue come hai detto tu.
Per quanto riguarda il numero di radici distinte, puoi ragionare come segue.
Si dimostra (e puoi provarci pure da solo) che ogni numero è equivalente ad uno ed uno soltanto dei possibili resti della divisione per $n$; dato che i possibili resti della divisione per $n$ sono $0,1,2,... ,n-1$, ciò comporta che ogni numero $k in ZZ$ individua una radice uguale ad una delle $n$ radici già individuate da $0,1,2,... , n-1$.
Quindi le radici $n$-esime distinte di un numero complesso sono al massimo tante quante i numeri $0,1,2,... ,n-1$, cioè $n$.
Per terminare, ti basta far vedere che le radici corrispondenti ai numeri $0,1,2,... ,n-1$ sono tutte diverse tra loro. Ma ciò è evidente e lo puoi vedere in due modi:
- [*:1fw4157t] Per Assurdo, supponi che le radici corrispondenti a due numeri $k_1!= k_2$ scelti tra $0,1,2,... ,n-1$ siano uguali: in tal caso i due numeri $k_1$ e $k_2$ sarebbero equivalenti modulo $n$. Ma ciò è assurdo, perché in nessun caso la differenza tra due numeri interi distinti $0<=k_1,k_2
[/*:m:1fw4157t]
[*:1fw4157t] Gli angoli $phi_k$ corrispondenti ai numeri $k=0,1,2,... ,n-1$ non differiscono per multipli interi di $2pi$; ergo, la periodicità delle funzioni seno e coseno ti assicura che non può essere contemporaneamente $cos phi_(k_1) = cos phi_(k_2)$ e $sin phi_(k_1) = sin phi_(k_2)$ se $k_1!= k_2$, perciò le radici corrispondenti a numeri diversi scelti tra $0,1,2,... ,n-1$ non possono coincidere.[/*:m:1fw4157t][/list:u:1fw4157t]
Cio gugo82, grazie per la risposta chiara
il mio unico dubbio è sulla dimostrazione che fai PER ASSURDO:
quando dici che la differenza tra due numeri interi distinti \(\displaystyle k_1\ne k_2 \) non può essere un multiplo di \(\displaystyle n \) , deriva dal fatto che ogni numero è equivalente ad uno e soltanto uno dei possibili resta della divisione per \(\displaystyle n \), giusto ?
Grazie infinitamente
il mio unico dubbio è sulla dimostrazione che fai PER ASSURDO:
quando dici che la differenza tra due numeri interi distinti \(\displaystyle k_1\ne k_2 \) non può essere un multiplo di \(\displaystyle n \) , deriva dal fatto che ogni numero è equivalente ad uno e soltanto uno dei possibili resta della divisione per \(\displaystyle n \), giusto ?
Grazie infinitamente
"galles90":
Cio gugo82, grazie per la risposta chiara
il mio unico dubbio è sulla dimostrazione che fai PER ASSURDO:
quando dici che la differenza tra due numeri interi distinti \(\displaystyle k_1\ne k_2 \) non può essere un multiplo di \(\displaystyle n \) , deriva dal fatto che ogni numero è equivalente ad uno e soltanto uno dei possibili resta della divisione per \(\displaystyle n \), giusto ?
Più o meno sì.
Infatti, se $k_1\equiv_n k_2$ si avrebbe anche $k_1\equiv_n k_1$ (per riflessività), dunque $k_1=k_2$, perché entrambi $k_1$ e $k_2$ sono resti di divisione e $k_1$ è congruente modulo $n$ solo a se stesso.
Un altro modo di far vedere questa cosa è calcolare direttamente. Dato che $k_1!= k_2$, possiamo supporre $k_1>k_2$ (nel caso contrario, basta ripetere lo stesso ragionamento cambiando gli indici); allora si ha $k_1-k_2=hn$, cioè $k_1=hn+k_2$: ciò significa che $k_2$ è il resto della divisione di $k_1$ per $n$; ma ciò è chiaramente assurdo, poiché (essendo $0<= k_1
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