Teorema di esistenza globale (dimostrazione)

[stelladinatale1]

Salve a tutti!
Sto studiando la dimostrazione del teorema di esistenza globale ma c'è una cosa che non mi è chiara.
Scrivo intanto l'enuncato del teorema:

Dato il Problema di Cauchy:
$u'(t)=f(t,u(t))$
$u(bar(t))=bar(u)$

Sia $f: IxD \rightarrow RR^n $
Se $f$ è localmente lipschitziana e se $ EE c>0$ t.c. $|| f(t,u)||<=c(1+||u||)$
allora la soluzione del Problema di Cauchy $ EE $ globalmente e cioè $ EE $ su ogni intervallo $[bar (t)-a, bar (t)+b]subI$ t.c. $u(t)in D°$
($D°$ sta per l'interno di D, scusate ma non sono molto brava a scrivere i simboli matematici)

Nella dimostrazione si considera un intervallo massimale di esistenza $J$ della soluzione
$J$ è del tipo $[bar(t), bar(t)+a)$
si dimostra che $u'(t)$ è limitata e quindi $u(t):[bar(t), bar(t)+a) \rightarrow RR^n $ è lipschitziana e quindi è uniformemente continua.
Allora $ EE lim_(t -> (bar(t)+a)^-)u(t)=u(bar(t)+a)$
Fin qui ho capito, adesso inizia la parte conclusiva della dimostrazione che non mi è molto chiara:
la funzione $u(t)$ è derivabile nell'intervallo chiuso $[bar(t), bar(t)+a]$, quindi la funzione $u(t)$ ha estensione $C^1$ su $[bar(t), bar(t)+a]$
La mia prima domanda è: siccome $EE$ il limite di sopra io posso estendere $u(t)$ fino a $bar(t)+a$ ma chi mi garantisce che $u'(bar(t)+a)=f(bar(t)+a,u(bar(t)+a))$?
Poi la dimostrazione proseegue nel seguente modo:
$u(bar(t)+a)!inD°$ (penso perchè altrimenti verrebbe contraddetta la massimalità di $J$)
La mia seconda domanda è: perchè questo dovrebbe dimostrare l'enunciato del teorema?

Spero di essere stata abbastanza chiara.
Grazie a tutti!