Teorema di esistenza globale

[asabasa]

Sia : $f:(a,b) \times RR^n-> RR^n$

Dato il problema di Cauchy
(1)$\{(dotx=f(t,x)),(x(t_0)=x_0):}$

Ipotesi:

1 $f$ continua
2 $f$ localmente lipschitziana
3 crescita alpiù lineare di $f$, cioè : $|f(t,x)|<= L_1|x| + L_2$ , con $L_1,L_2$ funzioni continue

Tesi: La soluzione massimale è definita in tutto $(a,b)$

Dimostrazione:

Sia $x(t)$ la soluzione locale del problema di Cauchy $x: (alpha, beta) -> RR^n$ con $t_0 in (alpha,beta)$


Consideriamo il problema di Cauchy:
(2)$\{(doty= L|x| + L_2),(y(t_0)=|x_0|):}$

Vogliamo dimostrare la tesi usando la sublinearità di $f$ e il fatto che quindi la soluzione $x$ non cresce troppo e "sta sotto" la soluzione di (2) (o almeno questo è quello che ho capito io)

$|x(t)|^2e^{-bara(t-t_0)}= rho(t)$

Poniamo $rho : (alpha,beta)-> RR$

$d/{dt} rho (t)= 2(x(t);dotx(t))e^-baralpha(t-t_0)-baralpha|x(t)|^2e^{-baralpha(t-t_0)}$
$<=(2|x(t)||dotx(t)|-baralpha|x(t)|^2)e^{-baralpha(t-t_0)} $
$<=(2|x(t)|(L|x| + b)-baralpha|x(t)|^2)e^{-baralpha(t-t_0)} $
$= [(2L-baralpha)|x(t)|^2 + b|x(t)|]e^{-baralpha(t-t_0)}
<= ce^{-baralpha(t-t_0)}<= c$ $AA t>= t_0$

parabola con concavità verso il basso se $baralpha>2L$ con $ 2L$ massimo

Dopodiché la dimostrazione è un po' confusa

$ int_{t_0}^t d/{dt} rho (t) = rho (t) - rho (t_0) <= int_{t_0}^t c = c(t-t_0)$ $AA [t_0,beta)$

$|x(t)|^2e^{-alpha(t-t_0)}- |x(t_0)|^2<=c(t-t_0)$ $AA tin[t_0,beta)$


$|x(t)|^2<= (|x(t_0)|^2+c(t-t_0)) e^{alpha(t-t_0)}$ $AA tin[t_0,beta)$

$|x(t)|^2<=( |x(t_0)|^2+c(beta-t_0))e^{alpha(beta-t_0)}$ $AA tin[t_0,beta)$

$EE t_n->beta^-$ $x(t_n)->x_1$

Se $beta
$|x(t)|^2<=( a+b(t-t_0))e^{alpha(t-t_0)}$

Evidentemente la conclusione è incompleta, mi pare di aver capito che il senso è dimostrare che $x(t)$ è limitata ed usare un teorema sull'estensibilità delle soluzioni che dice che se $lim_{n->infty} tn = b^-$ tale che $lim_{n->infty } x(t_n)=barx$ con $(beta,barx)$ interno al dominio allora la soluzione si può estendere oltre $beta$.

Qualcuno mi aiuta a mettere un po' d'ordine in questa dimostrazione e ad aggiungere qualche pezzo mancante??

[asabasa]

uppino