Teorema di esistenza ed unicità globale

[asabasa]

Dato il problema di Cauchy
(1)
$$
\left\{
\begin{array}{c}
\dot x= f(t,x)\\
x(t_0)=x_0 \\
\end{array}
\right.
$$
con $f: (\alpha,\beta) \rightarrow R^n$

dove $f : (alpha,beta) \times RR^n leftarrow RR^n$ è continua, localmente lip e con crescita alpiù lineare : $|f(t,x)| \le L_1+L_2|x|$

$Rightarrow$esiste una e una sola funzione che risolve (1) in tutto $(alpha,beta)$
$(t_k,x_k)$ , $\forall k=0,1...$


Applicando il teorema di esistenza locale ripetutamente al problema di dati iniziali $(t_k,x_k)$ con $AAk=0,1,....$ e

con $a_k=b_k-t_k$ , $b_k > 0$ segue questa stima $ \delta_k = \min \{ a_k ; b_k/M_k \} = \min \{ \beta - t_k ; b_k/{M_k}\}$

dove
$M_k=\max\{|f(t,x)|:x \in [t_k,\beta], |x-x_k|<= b_k\}$

Dall'ipotesi si sublinearità segue che: $|f(t,x)| \le L_1+L_2|x|<= L_1 + L_2(|x|+b_k)$


$\forall t \in [a,b] $ , $\forall |x-x_k| \le b_k|$

Ponendo : $b_k=L_1 + L_2|x_k|$

$M_k / b_k = 1 / b_k\{\max{|f(t,x)|:x \in [t_k,\beta], |x-x_k|<= b_k\}$
$\le 1 / b_k (L_1 + L_2|x_k| + L_2b_k)=1+L_2 $


Qualcuno mi spiega il passo successivo?

Supponiamo per assurdo che $x_k< beta$ $AAk$, se così fosse non potrebbe aversi: $\delta_k = M_k / b_k$ in tale caso in fatti $ \delta_k \ge 1 /{ 1 + L_2}$ $\forall k$ e quindi $t_k \rightarrow +\infty$ , assurdo! (???) (*)

Quindi esiste $k : \delta_k= \beta-t_k$ e $t_{k+1} =t_k + \delta_k$

(*) se $AA k$ ho che $delta_k != beta-x_k$ allora $delta_k>= b_k /M_k$ $AAk$ $Rightarrow$ e quindi $t_k rightarrow infty$
$EE delta_k=beta-x_k$ cioè $t_{k+1}= x_k+delta_k$

[asabasa]

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