Teorema di esistenza e unicità
Devo verificare se vale o meno questo teorema, dati i seguenti problemi di cauchy:
$\{(y'=(y-1)^(1/5)),(y(0)=0):}$
$\{(y'=(y-1)^(1/5)),(y(0)=1):}$
non so se si legge ma (y-1) sarebbe sotto radice quinta...
so come risolvere il problema, ma non riesco a verificare il teorema... sono mancato alla lezione quando venne spiegato e ora voglio essere certo di non scrivere sciocchezze.
$\{(y'=(y-1)^(1/5)),(y(0)=0):}$
$\{(y'=(y-1)^(1/5)),(y(0)=1):}$
non so se si legge ma (y-1) sarebbe sotto radice quinta...
so come risolvere il problema, ma non riesco a verificare il teorema... sono mancato alla lezione quando venne spiegato e ora voglio essere certo di non scrivere sciocchezze.
Risposte
Prova a postare il tuo ragionamento
intanto avevo pensato di calcolarmi il dominio di $f(x,y)=(y-1)^(1/5)$ che mi viene tutto $R^2$. Quindi la funzione è definita nei punti che mi vengono proposti nei due problemi.
Ora visto che davvero non sapevo cosa fare ho provato a vedere se $f(x,y)$ è Lipschitziana rispetto a y e uniforme rispetto a x:
$ |f(x,y_1)-f(x,y_2)| <= L_r |y_1-y_2| -> 0<=0$
quindi è vera e il teorema è verificato...
Ora visto che davvero non sapevo cosa fare ho provato a vedere se $f(x,y)$ è Lipschitziana rispetto a y e uniforme rispetto a x:
$ |f(x,y_1)-f(x,y_2)| <= L_r |y_1-y_2| -> 0<=0$
quindi è vera e il teorema è verificato...
Io in realtà avrei fatto così, sempre sfruttando la Lipschitzianità:
$|root(5)(y_1-1)-root(5)(y_2-1)|=|(y_1-y_2)/(root(5)(y_1-1)+root(5)(y_2-1))|<=|y_1-y_2|$
ma mi sa che si poteva anche sfruttare la continuità della derivata prima.
$|root(5)(y_1-1)-root(5)(y_2-1)|=|(y_1-y_2)/(root(5)(y_1-1)+root(5)(y_2-1))|<=|y_1-y_2|$
ma mi sa che si poteva anche sfruttare la continuità della derivata prima.
Be', per il primo problema non c'è dubbio, esistenza e unicità locali sono garantite perché il secondo membro è $C^1$ in un intorno di $(0,0)$ e quindi è anche localmente lipschitziano.
Per quanto riguarda il secondo problema, invece... [tex]\sqrt[5]{y-1}[/tex] è $C^1$ in un intorno di $(0,1)$?
Chiaramente c'è esistenza (c'è continuità, quindi vale il teorema di Peano: d'altra parte si vede ad occhio che c'è la soluzione costante...) ma dubito fortemente che ci sia unicità. In effetti, si tratta proprio di una variante del classico pennello di Peano (qui per maggiori informazioni).
Per quanto riguarda il secondo problema, invece... [tex]\sqrt[5]{y-1}[/tex] è $C^1$ in un intorno di $(0,1)$?
Chiaramente c'è esistenza (c'è continuità, quindi vale il teorema di Peano: d'altra parte si vede ad occhio che c'è la soluzione costante...) ma dubito fortemente che ci sia unicità. In effetti, si tratta proprio di una variante del classico pennello di Peano (qui per maggiori informazioni).
No, non c'è l'unicità per il secondo problema; anzi, invito proprio a determinare il pennello di Peano! 
ma in generale non mi basta controllare che $f(x,y) epsilon C^1$ in un intorno di $(x_0,y_0)$ (che sarebbero quelli dati nel problema)???
Sì, basta che $f$ sia $C^1$ in un intorno del dato iniziale per avere esistenza e unicità locale. [In realtà, basta di meno, come certamente saprai se hai studiato la teoria].
Quindi ti devi chiedere: il secondo membro è $C^1$ in un intorno del punto $(0,1)$?
Quindi ti devi chiedere: il secondo membro è $C^1$ in un intorno del punto $(0,1)$?
scusate se riapro il post ma ho altri dubbi.. se il secondo membro non è derivabile in $(x_0 , y_0)$ devo controllare altro o ho già capito che il teorema non è verificato?
e poi... se invece al secondo membro avessi $(y-1)^(1/5) 1/x$ cosa dovrei controllare della funzione in x?
e poi... se invece al secondo membro avessi $(y-1)^(1/5) 1/x$ cosa dovrei controllare della funzione in x?
nessuno? comunque presa f(x,y) non mi basta studiare il dominio e poi la derivabilità della derivata prima rispetto a y?
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