Teorema di Dini o delle funzioni implicite

[Davidemas1]

Salve a tutti. Avrei bisogno di una delucidazione riguardo il teorema di dini.
Nel mio libro il teorema è presentato in questo modo:

Sia $ Xsube RR^2 $ aperto, $ f:X|-> RR $ continua in $ X $ e $ (x_0,y_0)in X $ .
SE $ f_x $ è continua in $ X $ e SE $ f_x(x_0,y_0)!= 0 $ allora ... esiste $ x=g(y) $

Girando su internet ho visto che le ipotesi dotto cui vale il teorema di dini e quindi l'esistenza di $ x=g(y) $ sono:
SE $ f_x(x_0,y_0)!= 0 $ e SE $ f(x_0,y_0)=0 $ e l'ipotesi di continuità di $ f_x $ non viene per niente nominata.

La mia domanda è: quando faccio gli esercizi quali ipotesi deo controllare? Grazie in anticipo

[Emar1]

Spesso e volentieri la continuità viene tacitamente espressa dicendo che $f \in C^1(X)$, ovvero che sia derivabile con derivata continua. Il che implica che sia anche continua. Mentre il fatto la condizione $f (x_0,y_0) = 0$ dev'essere richiesta esplicitamente.

Ti confermo comunque che l'ipotesi $f (x_0,y_0)=0$ è necessaria.


EDIT: Avevo scritto $f_x$ al posto di $f$

[Davidemas1]

Scusami nell' ultima frase volevi dire che $ f(x_0,y_0)=0 $ è necessaria?

[Davidemas1]

okkey perfetto grazie mille

[Emar1]

Ma che testo è che enuncia il teorema così?

Ti allego un buona definizione del teorema in 2 variabili tratta dal Pagani-Salsa:

[Davidemas1]

Il testo è il Bertsch-Dal Passo-Giacomelli e il teorema viene espresso in questo modo: