Teorema di Dini e Sviluppi di Taylor funzione a 3 variabili

[Shanar]

Allora, questo è il testo dell'esercizio:
Data la funzione di tre variabili reali $ F(x,y,z) = 2 log x + xz + e^y -1 - e $ utilizzando il Teorema di Dini dimostrare che in un opportuno intorno del punto $ P = (1,1,1) $ l'equazione $ F(x,y,z)=0$ può esprimersi mediante la forma $z=f(x,y)$ con $f$ di classe $C^1$ in un intorno di $(1,1)$ e determinare lo sviluppo di Taylor di primo e secondo ordine per $f$ in $(1,1)$

Tutto ok per quanto riguarda la prima parte:
1) Troviamo il dominio $ D: {(x,y,z) in RR^3 : x>0}$ e $ f in C^infty (D) $
2) $F(1,1,1)= 2log(1)+1+e^1-1-e=0$
$F_z = x $
$F_z (1,1,1) = 1 != 0 $
e quindi il teorema di Dini ci assicura che l'equazione si può esprimere nella forma richiesta.

Ora, per quanto riguarda lo sviluppo di Taylor di primo e secondo ordine, come si deve procedere?
Conviene applicare una trasformazione per traslarla nell'origine? E come trattare $ xz $ ?

Grazie per l'aiuto

[anonymous_0b37e9]

Anche se, in questo caso, $z$ è facilmente esplicitabile, più in generale puoi procedere nel modo seguente:

$F(x,y,z(x,y))=0 rarr \{((delF)/(delx)+(delF)/(delz)(delz)/(delx)=0),((delF)/(dely)+(delF)/(delz)(delz)/(dely)=0):} rarr
\{((delz)/(delx)=-((delF)/(delx))/((delF)/(delz))),((delz)/(dely)=-((delF)/(dely))/((delF)/(delz))):}$

considerando che:

$\{((delF)/(delx)=2/x+z),((delF)/(dely)=e^y),((delF)/(delz)=x):}$

[Shanar]

Generalmenten in questo tipo di esercizi procediamo utilizzando gli sviluppi notevoli di Taylor;
in questo modo dopo aver svolto
$\{((delz)/(delx)=-(2/x^2 + z/x)),((delz)/(dely)=-e^y/x):}$
oltre a poter calcolare il piano tangente $z= 0 + (delz)/(delx) (1,1) (x-1) + (delz)/(dely) (1,1)(y-1) = -3 (x-1) - e (y-1) $ non mi viene in mente altro

[anonymous_0b37e9]

Se vuoi procedere esplicitando $z$:

$z=f(x,y)=(e+1-2logx-e^y)/x$

devi semplicemente determinare le derivate parziali prime:

$[(delf)/(delx)=(-e-3+2logx+e^y)/x^2] ^^ [(delf)/(dely)=-e^y/x]$

e le derivate parziali seconde:

$[(del^2f)/(delx^2)=(2(e+4-2logx-e^y))/x^3] ^^ [(del^2f)/(delxdely)=(del^2z)/(delydelx)=e^y/x^2] ^^ [(del^2f)/(dely^2)=-e^y/x]$

Infine, applicare la solita formula:

"Shanar":
...oltre a poter calcolare il piano tangente $z=0+(delz)/(delx)(1,1)(x-1)+(delz)/(dely)(1,1)(y-1)=-3(x-1)-e(y-1)$

Probabilmente una svista: $z=1+(delz)/(delx)(1,1)(x-1)+(delz)/(dely)(1,1)(y-1)$

"Shanar":
Generalmenten in questo tipo di esercizi procediamo utilizzando gli sviluppi notevoli di Taylor...

Volendo, si può tentare anche così. Tuttavia, non è chiaro se sei abituato, quando è possibile, a esplicitare $z$.

[Shanar]

Mmh non ho mai visto questa formula, ti dico brevemente ciò che abbiamo fatto su questo argomento così magari puoi farti un'idea di ciò che so e darmi una mano in base a questo.
Negli esercizi in $RR^2$, una volta proceduto a verificare la validità del teorema di Dini con lo stesso metodo utilizzato sopra, proseguo con $g'(x) = - \frac{f_x(x,\y)}{f_y(x,\y)}$ e $g''(x) = - \frac{f_{x x} f_y^2-2f_xf_yf_{xy}+f_x^2f_{yy}}{f_y^3} $ per giungere infine al secondo sviluppo di Taylor con \(y = g(x_0) + \frac{1}{1!}\,g'(x_0)\,(x-x_0) + \frac{1}{2!}\,g''(x_0)\,(x-x_0)^2\)

Mi verrebbe in mente che quella che tu hai riportato sia la formula equivalente da utilizzare in $RR^3$ ?
Comunque quello che solitamente faccio in quest'ultimo caso è avvalermi degli sviluppi notevoli, solo che sono per quando è centrata nell'origine, quindi stavo pensando di applicare qualcosa tipo $X=x-1$, $Y=y-1$, $Z=z-1$ e quindi si ha $F(x,y,z)=2log(X+1)+(X+1)(Z+1)+e^(Y+1)-1-e$
quindi al primo ordine: $log(X+1)=X$, $e^(Y+1)=1+Y+1$ e dunque $ 2X+X+Z+1+1+Y+1-1-e = 0 $ e $Z=-3X-Y-2+e$ e ora risostituisco?
È corretto il procedimento?

[anonymous_0b37e9]

"Shanar":
È corretto il procedimento?

Che fine ha fatto il termine $XZ$? Ad ogni modo, evitando il cambiamento di variabili e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

$2logx+xz+e^y-1-e=0$

$2log[1+(x-1)]+[1+(x-1)][1+(z-1)]+ee^(y-1)-1-e=0$

$2(x-1)-(x-1)^2+1+(x-1)+[1+(x-1)](z-1)+e+e(y-1)+1/2e(y-1)^2-1-e=0$

$3(x-1)-(x-1)^2+[1+(x-1)](z-1)+e(y-1)+1/2e(y-1)^2=0$

$z-1=(-3(x-1)+(x-1)^2-e(y-1)-1/2e(y-1)^2)/(1+(x-1))$

$z-1=[-3(x-1)+(x-1)^2-e(y-1)-1/2e(y-1)^2][1-(x-1)]$

$z=1-3(x-1)-e(y-1)+4(x-1)^2+e(x-1)(y-1)-1/2e(y-1)^2$

Puoi verificarne la correttezza applicando la formula del mio messaggio precedente.

[Shanar]

Mmh, chiaro il "trick" algebrico per evitare la sostituzione, credo che saprei rifarlo anche in altri casi simili.
Un paio di chiarimenti: non ho capito il passo dal terzultimo al penultimo passaggio e, nel caso in cui lo stesso esercizio fosse stato centrato nell'origine, sarebbe stato:
$2log[1+(x-1)]+xz+e^y-1-e=0$
$2(x-1)-(x-1)^2+xz+1+y+y^2/2-1-e=0$
$-x^2+y^2/2+xz+4x+y-3-e=0$
?

[anonymous_0b37e9]

"Shanar":
...non ho capito il passo dal terzultimo al penultimo passaggio...

$[x->0] rarr [1/(1-x)=1+x+o(x)]$

"Shanar":
...nel caso in cui lo stesso esercizio fosse stato centrato nell'origine...

Non ho capito quale variabile sarebbe centrata nell'origine.

[Shanar]

... in un opportuno intorno del punto $P=(0,0,0)$ l'equazione $ F(x,y,z)=0 $ può esprimersi mediante la forma $ z=f(x,y) $ con $ f $ di classe $ C^1 $ in un intorno di $ (0,0) $ e determinare lo sviluppo di Taylor di primo e secondo ordine per $ f $ in $ (0,0) $

[anonymous_0b37e9]

Perdonami ma, $[F(x,y,z)=2logx+xz+e^y-1-e]$ per $[x=0]$ non è definita.

[Shanar]

Hai ragione pure te; considerando con $log(x+1)$ allora, mi interessa giusto per il procedimento.
In quest'ultimo caso va ovviamente considerata la differenza nello sviluppo di quest'ultimo su quello che ho svolto nel mio commento precedente.

[anonymous_0b37e9]

Probabilmente intendi $[F(x,y,z)=2log(x+1)+xz+e^y-1]$ in modo tale che $[F(0,0,0)=0]$.

[Shanar]

"anonymous_0b37e9":Probabilmente intendi $[F(x,y,z)=2log(x+1)+xz+e^y-1]$ in modo tale che $[F(0,0,0)=0]$.

Sì esattamente, quindi
$2x-x^2+xz+1+y+y^2/2-1=0$ ?

[anonymous_0b37e9]

Mi sono accorto che $[F(x,y,z)=2log(x+1)+xz+e^y-1]$ non soddisfa le ipotesi del teorema nell'origine. Insomma, se hai ancora bisogno, dovresti modificarla opportunamente.

[Shanar]

Mmh sì, vabbè, lasciamo stare questo esercizio.
Tornando un momento indietro, tu eri partito dicendo:

"anonymous_0b37e9":Anche se, in questo caso, $z$ è facilmente esplicitabile, più in generale puoi procedere nel modo seguente:

$F(x,y,z(x,y))=0 rarr \{((delF)/(delx)+(delF)/(delz)(delz)/(delx)=0),((delF)/(dely)+(delF)/(delz)(delz)/(dely)=0):} rarr
\{((delz)/(delx)=-((delF)/(delx))/((delF)/(delz))),((delz)/(dely)=-((delF)/(dely))/((delF)/(delz))):}$

considerando che:

$\{((delF)/(delx)=2/x+z),((delF)/(dely)=e^y),((delF)/(delz)=x):}$

e quindi

"Shanar":
in questo modo dopo aver svolto
$\{((delz)/(delx)=-(2/x^2 + z/x)),((delz)/(dely)=-e^y/x):}$

Evitando di esplicitare z visto che nella maggior parte di questi esercizi ho notato che non lo si può fare banalmente, è possibile giungere fino allo sviluppo del secondo ordine procedendo così?
Eravamo arrivati a dire che questo

"anonymous_0b37e9":Probabilmente una svista: $z=1+(delz)/(delx)(1,1)(x-1)+(delz)/(dely)(1,1)(y-1)$

è il piano tangente, che, che io sappia, corrisponde allo sviluppo di primo ordine di Taylor. Possiamo ora arrivare in qualche modo al secondo senza utilizzare la formula che hai presentato prima, o gli sviluppi notevoli?

[anonymous_0b37e9]

Derivando parzialmente $[F_x+F_zz_x=0]$ rispetto a $[x]$ e a $[y]$ si ottiene:

$[F_(x\x)+F_(z\x)z_x]+[F_(x\z)+F_(z\z)z_x]z_x+F_zz_(x\x)=0$

$[F_(y\x)+F_(z\x)z_y]+[F_(y\z)+F_(z\z)z_y]z_x+F_zz_(y\x)=0$

Derivando parzialmente $[F_y+F_zz_y=0]$ rispetto a $[x]$ e a $[y]$ si ottiene:

$[F_(x\y)+F_(z\y)z_x]+[F_(x\z)+F_(z\z)z_x]z_y+F_zz_(x\y)=0$

$[F_(y\y)+F_(z\y)z_y]+[F_(y\z)+F_(z\z)z_y]z_y+F_zz_(y\y)=0$

Dalle quattro relazioni ottenute si possono ricavare le derivate parziali seconde.

[Shanar]

Innanzitutto grazie: dalle tue relazioni si ricavano
$z_(x\x)= - ([F_(x\x)+F_(z\x)z_x]+[F_(x\z)+F_(z\z)z_x]z_x)/F_z$
e così via di seguito.
Ho provato ad applicarle sull'esercizio iniziale di questo topic, e mi torna lo stesso risultato da te ottenuto; ho proceduto con altri esercizi che avevo già svolto con sviluppi notevoli, e non ho difficoltà a ottenere il risultato corretto in questo modo.
Unica cosa: non ho ben capito perché

"anonymous_0b37e9":Derivando parzialmente $[F_x+F_zz_x=0]$ rispetto a $[x]$ si ottiene:

$[F_(x\x)+F_(z\x)z_x]+[F_(x\z)+F_(z\z)z_x]z_x+F_zz_(x\x)=0$

etc.

[anonymous_0b37e9]

Si tratta dello stesso procedimento con il quale, per esempio, derivando parzialmente rispetto a $x$ la relazione $F(x, y, z(x,y))=0$ si ottiene $F_x+F_zz_x=0$. Insomma, la funzione $F$ ha una dipendenza esplicita da $x$ tramite il primo "segnaposto" $x$, e una dipendenza implicita da $x$ tramite il terzo "segnaposto" $z$. Quindi, $[F_(x\x)+F_(z\x)z_x]$ è la derivata parziale rispetto a $x$ di $F_x$, e $[F_(x\z)+F_(z\z)z_x]$ è la derivata parziale rispetto a $x$ di $F_z$ (anche queste due funzioni dipendono da $x$ anche tramite $z$). Ovviamente, per ottenere la relazione completa, si devono applicare le regole di derivazione della somma e del prodotto. In definitiva:

"anonymous_0b37e9":
Derivando parzialmente $F_x+F_zz_x=0$ rispetto a $x$ si ottiene:

$[F_(x\x)+F_(z\x)z_x]+[F_(x\z)+F_(z\z)z_x]z_x+F_zz_(x\x)=0$

[Shanar]

Mmh sì, mi sembra logico; grazie mille per tutto