Teorema di Dini
Ecco un altro esercizio : Stabilire se l’equazione $y^3 +(x^2 +1)y−x^2 =0$ definisce, in un intorno di (0,0), una funzione di classe $C^\infty$, $y=k(x)$. Tracciare un grafico qualitativo della funzione k in un intorno del punto x = 0.
Io ho pensato , innanzitutto di vedere se il teorema di Dini è applicabile e , in caso affermativo , di calcolare le derivate della funzione $f(x,k(x))=0$ per poter scrivere la formula di Taylor almeno al secondo ordine e disegnare quindi la funzione k.
Per prima cosa notiamo che $f(0,0)=0$ e che $(\partial f)/(\partial y) (0,0) = 1$ quindi il teorema di Dini è applicabile. Prima di derivare servono due premesse. Dato che derivo una funzione identicamente uguale a zero , le sue derivate daranno tutto uguali a zero ; inoltre avendo che $f(0,0)=0$ e che $f(0,k(0))=0$ posso già dire che $k(0)=0$.
Inizio a calcolare la derivata prima della funzione $f(x,k(x))=k(x)^3 +(x^2 +1)k(x)−x^2$ che risulta :
$3k(x)^2 k(x)' + 2x k(x) + (x^2 +1)k(x)' - 2x =0$ e la valuto in zero : --> $3k(0)^2 k(0)' + (x^2 +1)k(0)' =0$ --> $k(0)' = 0$
calcolo la derivata seconda :
$6k(x) k(x)' + 3k(x)^2 k(x)'' +2k(x) + 2x k(x)'+ 2x k(x)'+(x^2 +1) k(x)'' -2 = 0$ e la valuto in zero -> $6k(0) k(0)' + 3k(0)^2 k(0)'' +2k(0)+(x^2 +1) k(0)'' -2 = 0$ e se non sbaglio ottengo $k(0)'' = 2$.
Quindi scrivo lo sviluppo di Taylor al secondo ordine : $k = 2x^2 + o(x^2)$ e il grafico in un intorno dell'origine è (l'inizio) di una parabola.
E' corretto questo procedimento ?? Grazie mille
Io ho pensato , innanzitutto di vedere se il teorema di Dini è applicabile e , in caso affermativo , di calcolare le derivate della funzione $f(x,k(x))=0$ per poter scrivere la formula di Taylor almeno al secondo ordine e disegnare quindi la funzione k.
Per prima cosa notiamo che $f(0,0)=0$ e che $(\partial f)/(\partial y) (0,0) = 1$ quindi il teorema di Dini è applicabile. Prima di derivare servono due premesse. Dato che derivo una funzione identicamente uguale a zero , le sue derivate daranno tutto uguali a zero ; inoltre avendo che $f(0,0)=0$ e che $f(0,k(0))=0$ posso già dire che $k(0)=0$.
Inizio a calcolare la derivata prima della funzione $f(x,k(x))=k(x)^3 +(x^2 +1)k(x)−x^2$ che risulta :
$3k(x)^2 k(x)' + 2x k(x) + (x^2 +1)k(x)' - 2x =0$ e la valuto in zero : --> $3k(0)^2 k(0)' + (x^2 +1)k(0)' =0$ --> $k(0)' = 0$
calcolo la derivata seconda :
$6k(x) k(x)' + 3k(x)^2 k(x)'' +2k(x) + 2x k(x)'+ 2x k(x)'+(x^2 +1) k(x)'' -2 = 0$ e la valuto in zero -> $6k(0) k(0)' + 3k(0)^2 k(0)'' +2k(0)+(x^2 +1) k(0)'' -2 = 0$ e se non sbaglio ottengo $k(0)'' = 2$.
Quindi scrivo lo sviluppo di Taylor al secondo ordine : $k = 2x^2 + o(x^2)$ e il grafico in un intorno dell'origine è (l'inizio) di una parabola.
E' corretto questo procedimento ?? Grazie mille
Risposte
PREMESSA IMPORTANTE: È mattino e sono ancora mezzo addormentato, quindi il rischio che dica castronerie è molto alto.
Detto ciò...
Potresti spiegare meglio questa affermazione? Mi sembra sbagliato quello che dici, se ho ben capito cosa intendi.
Anche questa mi lascia molto perplesso; puoi dimostrarla?
Sul resto dell'esercizio, secondo me dovresti verificare anche "l'ultima ipotesi" e poi scrivere la relazione che ti dà \(k'(x)\), e vedere da lì cosa esce.
Detto ciò...
"previ91":
Dato che derivo una funzione identicamente uguale a zero , le sue derivate daranno tutto uguali a zero.
Potresti spiegare meglio questa affermazione? Mi sembra sbagliato quello che dici, se ho ben capito cosa intendi.
"previ91":
inoltre avendo che $f(0,0)=0$ e che $f(0,k(0))=0$ posso già dire che $k(0)=0$.
Anche questa mi lascia molto perplesso; puoi dimostrarla?
Sul resto dell'esercizio, secondo me dovresti verificare anche "l'ultima ipotesi" e poi scrivere la relazione che ti dà \(k'(x)\), e vedere da lì cosa esce.
Ciao e grazie per la risposta ;
PRIMA OSSERVAZIONE :
qui mi sono forse spiegato male , dimmi se la correzione può andare : il teorema di Dini (in parole povere) mi dice che se si verificano alcune condizioni posso definire una funzione $y=\phi (x)$ tale che $f(x,\phi (x) ) = 0$. Detto questo non volevo dire che tutte le sue derivate saranno nulle ; ma che tutte le sue derivate possono essere uguagliate a zero.In questo modo potrei trovarmi i vari $\phi ' (x) , \phi '' (x) ...$ (in questo caso calcolati in 0.)
SECONDA OSSERVAZIONE
quì mi sento perplesso anche io. Allora : su $f(0,0)=0$ non dovrebbero esserci dubbi , è una condizione del teorema di Dini : sostituisco nella funzione di partenza e risulta zero. Mentre quando dico $f(0,\phi (0)) = 0$ non saprei dimostrarlo e forse è corretto dire $f(x,\phi (x) ) = 0$. Io mi sono lasciato confondere da un esercizio che ho fatto qualche tempo fa.
Grazie mille fammi sapere
PRIMA OSSERVAZIONE :
qui mi sono forse spiegato male , dimmi se la correzione può andare : il teorema di Dini (in parole povere) mi dice che se si verificano alcune condizioni posso definire una funzione $y=\phi (x)$ tale che $f(x,\phi (x) ) = 0$. Detto questo non volevo dire che tutte le sue derivate saranno nulle ; ma che tutte le sue derivate possono essere uguagliate a zero.In questo modo potrei trovarmi i vari $\phi ' (x) , \phi '' (x) ...$ (in questo caso calcolati in 0.)
SECONDA OSSERVAZIONE
quì mi sento perplesso anche io. Allora : su $f(0,0)=0$ non dovrebbero esserci dubbi , è una condizione del teorema di Dini : sostituisco nella funzione di partenza e risulta zero. Mentre quando dico $f(0,\phi (0)) = 0$ non saprei dimostrarlo e forse è corretto dire $f(x,\phi (x) ) = 0$. Io mi sono lasciato confondere da un esercizio che ho fatto qualche tempo fa.
Grazie mille fammi sapere
Punto 2)
È giusto dire che \(f(0,\varphi(0)) = 0\), è giusto dire che \(f(0,0) = 0\), ma è comunque sbagliato dedurre da questo che \(\varphi(0) = 0\) : per avere un controesempio, prendi \(f(x,y) = x^2 + y^2 - 1\), \(\mathbb{x} = (0,1)\) e ricava \(y = y(x)\).
Punto 1)
Non è questo il modo per ricavare \(\varphi', \varphi''\)...
Fai quello che ti ho detto nel messaggio precedente: usa la relazione fornita dal teorema per ricavare \(\varphi'\).
È giusto dire che \(f(0,\varphi(0)) = 0\), è giusto dire che \(f(0,0) = 0\), ma è comunque sbagliato dedurre da questo che \(\varphi(0) = 0\) : per avere un controesempio, prendi \(f(x,y) = x^2 + y^2 - 1\), \(\mathbb{x} = (0,1)\) e ricava \(y = y(x)\).
Punto 1)
Non è questo il modo per ricavare \(\varphi', \varphi''\)...
Fai quello che ti ho detto nel messaggio precedente: usa la relazione fornita dal teorema per ricavare \(\varphi'\).
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