Teorema di De L'Hospital
Vorrei un chiarimento su un passaggio.
Hp: $f$ e $g$ sono due funzioni derivabili in $(a,b)$ e $g$ e $g^{\prime}$ sono non nulle $AA x in (a,b)$; inoltre:
-$lim_(x \to a^+)f(x)=lim_(x \to a^+)g(x)=0$
-$lim_(x \to a^+)((f^{\prime}(x))/(g^{\prime}(x)))=L$
Th:$lim_(x \to a^+)(f(x)/g(x))=L$
Sia $x_n$ una successione che tende ad $a$. Prolunghiamo $f$ e $g$ ponendo $f(a)=g(a)=0$. Mi fermo già qui perchè il resto è abbastanza chiaro. Questa operazione di " prolungare le funzioni " è lecita? Mi spiego meglio: se nelle ipotesi c'è scritto che $f$ e $ g$ sono derivabili in $(a,b)$ e quindi continue in $(a,b)$, il prolungamento non modifica le ipotesi? ( dal momento che diciamo che $f$ e $g$ sono continue anche in $a$ quindi in $[a,b]$)
Hp: $f$ e $g$ sono due funzioni derivabili in $(a,b)$ e $g$ e $g^{\prime}$ sono non nulle $AA x in (a,b)$; inoltre:
-$lim_(x \to a^+)f(x)=lim_(x \to a^+)g(x)=0$
-$lim_(x \to a^+)((f^{\prime}(x))/(g^{\prime}(x)))=L$
Th:$lim_(x \to a^+)(f(x)/g(x))=L$
Sia $x_n$ una successione che tende ad $a$. Prolunghiamo $f$ e $g$ ponendo $f(a)=g(a)=0$. Mi fermo già qui perchè il resto è abbastanza chiaro. Questa operazione di " prolungare le funzioni " è lecita? Mi spiego meglio: se nelle ipotesi c'è scritto che $f$ e $ g$ sono derivabili in $(a,b)$ e quindi continue in $(a,b)$, il prolungamento non modifica le ipotesi? ( dal momento che diciamo che $f$ e $g$ sono continue anche in $a$ quindi in $[a,b]$)
Risposte
Si tratta del prolungamento per continuità, ovverosia nel momento in cui ti ritrovi una funzione $ f $ con un'eventuale discontinuità di terza specie nel punto $ x_0 $, puoi ridefinire la funzione come: $ hat f = { ( f(x), se x != x_0 ),( l, se x = x_0 ):} $, dove $ l $ è il $ lim_(x -> x_0) f(x) $.
Ma questa operazione non è lecita solo nel caso in cui i limiti destro e sinistro sono uguali e finiti? Nel nostro caso il limite sinistro non esiste proprio dal momento che stiamo lavorando all'interno di un intervallo...
Ti ho spiegato il concetto di prolungamento per continuità, ma sono stata superficiale. Intanto non hai scritto correttamente le ipotesi del teorema di De L'Hopital: $ f $ e $ g $ sì, sono definite e derivabili nell'intervallo che hai scritto, ma affinché l'enunciato risulti valido, $ f $ e $ g $ devono essere entrambe infiniti o infinitesimi per $ x -> a^(+) $, ergo, non puoi supporre $ g != 0 $ sull'intervallo dato.
$ f $ e $ g $ sono derivabili in $ (a, b) $ ergo continue in ogni punto di $ (a, b) $, da cui segue che $ lim_(x -> a^+) f(x) = lim_(x -> a^+) g(x) = 0 $. Dunque è lecito supporre $ f(a) = g(a) = 0 $. Del limite sinistro, perdona il francesismo, non te ne frega niente, stai lavorando in un intorno destro di $ a $.
$ f $ e $ g $ sono derivabili in $ (a, b) $ ergo continue in ogni punto di $ (a, b) $, da cui segue che $ lim_(x -> a^+) f(x) = lim_(x -> a^+) g(x) = 0 $. Dunque è lecito supporre $ f(a) = g(a) = 0 $. Del limite sinistro, perdona il francesismo, non te ne frega niente, stai lavorando in un intorno destro di $ a $.
"Kippis":
Intanto non hai scritto correttamente le ipotesi del teorema di De L'Hopital: $ f $ e $ g $ sì, sono definite e derivabili nell'intervallo che hai scritto, ma affinché l'enunciato risulti valido, $ f $ e $ g $ devono essere entrambe infiniti o infinitesimi per $ x -> a^(+) $, ergo, non puoi supporre $ g != 0 $ sull'intervallo dato.
Ho trovato queste come ipotesi sul libro,e pensavo che non creasse problemi $g!=o AA x in (a,b)$ dal momento che l'intervallo è aperto e quindi non "limita" la possibilità che $g$ sia $0$ in $a$ o in $b$. Sbaglio?
"Kippis":
$ f $ e $ g $ sono derivabili in $ (a, b) $ ergo continue in ogni punto di $ (a, b) $, da cui segue che $ lim_(x -> a^+) f(x) = lim_(x -> a^+) g(x) = 0 $. Dunque è lecito supporre $ f(a) = g(a) = 0 $. Del limite sinistro, perdona il francesismo, non te ne frega niente, stai lavorando in un intorno destro di $ a $.
Dire che sono continue in $(a,b)$ sbaglio o non equivale a dire che sono continue in $a$ o in $b$? Altrimenti avrei trovato scritto " in $[a,b]$". Mi potresti chiarire questi due punti se non è un problema?
Grazie per l'interessamento...
Sì, ma mi sembra un'ipotesi ridondante sottolineare $ g != 0 $ sull'intervallo, basta dire che sia infinitesimo per $ x-> a^+ $ e, soprattutto (e questo è il punto rilevante) che sia $ g'(x) != 0 $ su $ (a, b) $. La continuità sull'aperto ti porta ad essere sicuro dell'esistenza del limite destro, poi di cosa facciano $ f $ e $ g $ in $ a $ poco importa, puoi prolungare o ridefinire le due funzioni in modo tale che $ f(a) = g(a) = 0 $.
Ok, sei stata molto chiara. Grazie mille
ps:complimenti per foto e firma!
ps:complimenti per foto e firma!
Figurati, anzi mi scuso per non essere stata chiara inizialmente. Hai ragione, Faber rende molto più di Moe.
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