Teorema di convergenza delle serie di potenza
salve a tutti vorrei chidere il vostro aiuto in merito a un esercizio dato dal prof ad un esame:
devo dimostrare che una serie di potenze (avente raggio di convergenza R) converge uniformente nell'intervallo $[x_0-R+epsilon,x_0+R-epsilon]$ con $epsilon in (0,R)$
io ho ragionato in questo modo dato che $epsilon in (0,R)$ riscrivo meglio l'intervallo di convergenza sostituiendo a $epsilon$ i suoi estremi e ottengo che l'intervallo diventa $(x_0-R,x_0+R)$ con $epsilon=0$ e $x_0$ con $epsilon=R$
ma dal teorema di convergenza delle serie di potenze so che: "se una serie di potenze $\sum_{n=0}^oo c_n(x-x_0)^n$ ha raggio di convergenza $R>0$ allora converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $(x_0-R,x_0+R)$
e quindi posso dire di aver dimostrato quanto richiesto dal prof...
il fatto è che visto il punteggio che assegna il prof all'esercizio la soluzione (immagino) dovrebbe essere un po' piu' complessa.... mi potete dire se sbaglio o se ho svolto bene l'esercizio?
grazie mille a tutti
devo dimostrare che una serie di potenze (avente raggio di convergenza R) converge uniformente nell'intervallo $[x_0-R+epsilon,x_0+R-epsilon]$ con $epsilon in (0,R)$
io ho ragionato in questo modo dato che $epsilon in (0,R)$ riscrivo meglio l'intervallo di convergenza sostituiendo a $epsilon$ i suoi estremi e ottengo che l'intervallo diventa $(x_0-R,x_0+R)$ con $epsilon=0$ e $x_0$ con $epsilon=R$
ma dal teorema di convergenza delle serie di potenze so che: "se una serie di potenze $\sum_{n=0}^oo c_n(x-x_0)^n$ ha raggio di convergenza $R>0$ allora converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $(x_0-R,x_0+R)$
e quindi posso dire di aver dimostrato quanto richiesto dal prof...
il fatto è che visto il punteggio che assegna il prof all'esercizio la soluzione (immagino) dovrebbe essere un po' piu' complessa.... mi potete dire se sbaglio o se ho svolto bene l'esercizio?
grazie mille a tutti
Risposte
Innanzitutto, le serie non sono di Potenza... Al massimo sono di Matera! 
L'obiezione seria è: perché mai sostituisci a \(\varepsilon\) gli estremi dell'intervallo di variazione di \(\varepsilon\)?
Non l'ho capita.
Ad ogni modo, l'idea (invocare il teorema) è giusta... Ma credo che il tuo docente intendesse far proporre agli studenti una dimostrazione di quella proprietà lì che ricalchi la dimostrazione del teorema citato.
L'obiezione seria è: perché mai sostituisci a \(\varepsilon\) gli estremi dell'intervallo di variazione di \(\varepsilon\)?
Non l'ho capita.
Ad ogni modo, l'idea (invocare il teorema) è giusta... Ma credo che il tuo docente intendesse far proporre agli studenti una dimostrazione di quella proprietà lì che ricalchi la dimostrazione del teorema citato.
perchè alla fine l'intervallo corrisponde a quello "finale" dove ho sostituito a $epsilon$ gli estremi in cui varia $epsilon$
scusa la ripetizione:)
No, dai, non ha alcun senso.
Leggi bene cosa ti viene chiesto di dimostrare.
Leggi bene cosa ti viene chiesto di dimostrare.
mi sembrava la procedimento giusto 
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