Teorema di continuità funzioni monotòne
Non riesco a dimostrare questo teorema..potreste darmi una mano??
Teorema : Sia $f:X->R$ monotoòna
Allora se $f(X)$ (l' insieme delle immagini di F) è un intervallo $-->$ f è continua e viceversa
Grazie in anticipo
Teorema : Sia $f:X->R$ monotoòna
Allora se $f(X)$ (l' insieme delle immagini di F) è un intervallo $-->$ f è continua e viceversa
Grazie in anticipo

Risposte
Continua implica intervallo è una conseguenza di quel teorema che dice che se una funzione è positiva in un punto e negativa in un altro (e continua) allora esiste un punto in mezzo in cui passa dallo zero (credo si chiami teorema degli zeri ma no vorrei dire una boiata).
Per l'altro verso devi ragionare per assurdo: supponi che la funzione non sia continua in un punto e guarda cosa succede all'immagine
Per l'altro verso devi ragionare per assurdo: supponi che la funzione non sia continua in un punto e guarda cosa succede all'immagine
se non è continua (suppongo monotòna) risulta che considerando l' intervallo $[f(xo-) ; f(xo)]$ non è contenuto in f(X) ... giusto?
Se $f$ è monotona allora in ogni punto ammette limite destro e limite sinistro. Ne segue che se in un punto $f$ non è
continua in quel punto $f$ ha una discontinuità "di salto" - questo implica che "c'è un buco nell'immagine".
Ti ho detto le cose in maniera qualitativa - vedi tu di sistemarle in modo rigoroso.
continua in quel punto $f$ ha una discontinuità "di salto" - questo implica che "c'è un buco nell'immagine".
Ti ho detto le cose in maniera qualitativa - vedi tu di sistemarle in modo rigoroso.