Teorema di continuità delle funzioni inverse

[Bandit1]

Il teorema dice:Sia f(x) una funzione strettamente monotona in [a,b]. Se f(x) è continua, anche la funzione inversa f^(-1) è continua.
Quale è la dimostrazione?
Ne ho 2:

1)Supponiamo che f(x) è strett. crescente in [a,b]; allora:
f:[a,b]-->[f(a),f(b)] f^(-1):[f(a),f(b)]-->[a,b].
In particolare, assume tutti i valori dell'intervallo [a,b]; per il criterio di continuità per le funzioni monotone(Se f(x) è una funzione monotone nell'intervallo [a,b], essa è continua in [a,b] se e solo se l'immagine di f(x) è tuto l'intervallo di estremi f(a), f(b).) f^(-1) è continua.
2)la funz è iniettiva e per questo esiste f^(-1):[f(a),f(b)]-->[a,b], quest'ultima è surriettiva e così è continua, sempre per il criterio di continuità per le funzioni monotone

Quale delle 2?
e poi perchè non è valida per le biuniviche?

[Sk_Anonymous]

Mi sembra siano equivalenti, e poi la stessa cosa vale per le biunivoche.

Luca77
http://www.llussardi.it

[Bandit1]

allora vale per le biunivoche?

e quale è la + completa?

[Sk_Anonymous]

Se dovessi proporne una, sceglierei la 2). Non capisco poi cosa intendi per "vale per le biunivoche". L'invertibilita' della funzione non e' un'ipotesi, ma una tesi.

Luca77
http://www.llussardi.it

[Bandit1]

quindi vale per le biunivoche perchè è per ipotesi, giusto?


e poi perchè se la funzione è iniettiva vale quella condizione(f^(-1):[f(a),f(b)]-->[a,b])?
e perche si ha che quest'ultima è surriettiva?

[Sk_Anonymous]

Continuo a non capire. Il teorema recita che se una funzione e' strettamente monotona da [a,b] e assume tutti i valori di [f(a),f(b)], allora e' invertibile e l'inversa e' continua. Quindi l'iniettivita' di f e' una tesi del teorema. Poi puoi anche dire che f e' allora biunivoca da [a,b] in [f(a),f(b)]. Chiaramente, in condizioni di stretta monotonia di f, f^(-1) e' ancora una corrispondenza biunivoca da [f(a),f(b)] in [a,b], e ancora strettamente monotona, per cui e' anche continua.

Luca77
http://www.llussardi.it

[Bandit1]

allora sapendo ciò che enuncia il teorema, mi potresti dire nel modo + semplice che sai, la dimostrazione.
grazie

[Sk_Anonymous]

L'ho detta nel post precedente, ma te la ripeto. f per ipotesi e' strettamente monotona definita su [a,b] a valori in [f(a),f(b)] suriettiva. Allora f e' invertibile, causa la stretta monotonia, e continua, perche' assume tutti i valori di [f(a),f(b)]. Ne segue anche che f^(-1), definita da [f(a),f(b)] a valori in [a,b], risulta strettamente monotona e suriettiva, e quindi anch'essa e' continua.

Luca77
http://www.llussardi.it

[Bandit1]

Adesso ti ho capito di +, grazie 10000000

Ultimissime cose:
Perchè diciamo che è surriettiva?è per ipotesi?

[Sk_Anonymous]

Si', esatto, la suriettivita' e' per ipotesi, e serve a garantire la continuita' di f: se una funzione f monotona crescente (analogo se decrescente) definita su [a,b] assume tutti i valori di [f(a),f(b)] (ovvero f:[a,b] -->[f(a),f(b)] e' suriettiva), allora essa e' continua, e questo e' un Teorema di continuita' che ha un'altra dimostrazione, ma che non e' immediata come quella precedente.

Luca77
http://www.llussardi.it

[Bandit1]

mi sono reso conto solo adesso che nell'ultima dimostrazione che mi hai dato l'iniettività non c'è....


e quindi è vero che le funzioni monotone sono sempre iniettive e per questo l'hai omesso?

[Bandit1]

credo che l'utimo intervento sia stata la mia ultima domanda. Ora vado a cenare (anche se è un pò tardino).
Spero che con la tua prossima risposta mi sarà tutto chiaro. Grazie ancora.

[Sk_Anonymous]

Si, c'e', e' l'invertibilita'. Se una funzione e' strettamente monotona, allora e' iniettiva (facilissimo) e quindi e' invertibile.

Luca77
http://www.llussardi.it