Teorema di continuità della derivata prima in un punto

[monetaria]

ma nelle ipotesi del teorema di continuità della derivata prima in un punto devo dire che lim (x tende a x0) f'(x) è finito?

[dissonance]

Non mi è tanto chiara la domanda, messa così... A cosa ti riferisci? Forse a questo teorema:
se $f:[a,b]\toRR$ è continua in $[a,b]$, derivabile in $[a,b]-{x_0}$ ed esiste $lim_{x\tox_0}f'(x)$ allora $f$ è derivabile in $x_0$ e $lim_{x\tox_0}f'(x)=f'(x_0)$?

[monetaria]

si i riferisco a quel teorema..

[dissonance]

Beh allora il limite deve essere finito, si. Anzi, puoi dire che se il limite è infinito, allora sicuramente $f$ non è derivabile in $x_0$. E' più facile se lo dimostri: $lim_{x\tox_0}f'(x)=l$, prendiamo $x
Il concetto è questo: il teorema del valore medio ti permette di dire che il rapporto incrementale relativo a $x_0$, calcolato in $x$ è uguale alla derivata calcolata in un punto "poco discosto" da $x_0$. E quando si passa al limite entrambe le funzioni sono obbligate a convergere allo stesso limite.

Osservazione: il teorema vale anche per limiti sinistri o destri. In questo caso hai la derivabilità solo sinistra o solo destra. E se il limite di $f'$ è infinito, infinito sarà anche il limite del rapporto incrementale, da cui la non derivabilità. Fammi sapere se sono stato chiaro! Ciao!

[Fioravante Patrone1]

@monetaria
Grazie per il titolo esaustivo

[monetaria]

si però io a questo punto mi chiedo..perchè nn mettono nelle ipotesi che il limite deve essere finito??

[dissonance]

In effetti non è sbagliato: se dici, parlando di una funzione reale, che esiste il limite per $x\tox_0$, a rigore stai implicitamente dicendo che il limite esiste nei numeri reali, cioè esiste finito. Probabilmente l'autore a cui fai riferimento la vede così. E poi queste cose dipendono dal contesto.

Come dicevamo nei post precedenti, quando il limite di $f'$ esiste ma infinito anche il limite del rapporto incrementale è infinito. E perciò la derivata non esiste nel punto, dal momento che -per definizione di derivata-, una funzione $f$ definita in un intervallo $I$ contenente $x_0$ è derivabile $iff$ esiste (finito) il limite del rapporto incrementale. Non ti convince questo fatto?

[zio_mangrovia]

"dissonance":Beh allora il limite deve essere finito, si. Anzi, puoi dire che se il limite è infinito, allora sicuramente $f$ non è derivabile in $x_0$. E' più facile se lo dimostri: $lim_{x\tox_0}f'(x)=l$, prendiamo $x
Il concetto è questo: il teorema del valore medio ti permette di dire che il rapporto incrementale relativo a $x_0$, calcolato in $x$ è uguale alla derivata calcolata in un punto "poco discosto" da $x_0$. E quando si passa al limite entrambe le funzioni sono obbligate a convergere allo stesso limite.

Osservazione: il teorema vale anche per limiti sinistri o destri. In questo caso hai la derivabilità solo sinistra o solo destra. E se il limite di $f'$ è infinito, infinito sarà anche il limite del rapporto incrementale, da cui la non derivabilità. Fammi sapere se sono stato chiaro! Ciao!

Non capisco in base a quale criterio si asserisce che $xi_x!=0$ arrivando a dedurre che $lim_{x\tox_0^-}f'(xi_x)=l$.
Chiarissimo il concetto che Per $x\tox_0$, $xi_x\tox_0$ ma non riesco ad andare oltre. Grazie.

[dissonance]

Eh buh chi si ricorda ormai. Sono passati otto anni.