Teorema di continuità della derivata

[pigrecoedition]

Oggi la prof. di Analisi ha spiegato il teorema di continuità della derivata, enunciandolo in tal modo: sia f:[a,b]->R derivabile in [a,b] e sia c appartenete ad [a,b], se esiste il limite per x->c+ di f ' (x) allora coincide con f ' (c). Credo che ci sia un errore nella dimostrazione fornita perché non viene utilizzata l'ipotesi che esiste il limite in c della derivata. Ecco la dimostrazione:
Sia {hn} una successione tale che hn->0+
Sia [c,c+hn]contenuto in [a,b], allora per ogni n per il teorema di Lagrange esiste xn appartenete a 8c,c+hn) tale che
f ' (xn)= (f(c+hn)-f(c))/(hn). La successione xn \neq c e tende a c+.
Per il teorema ponte f ' (c) = lim su h->0 di (f(c+h)-f(c))/(h) = lim su n->+oo di (f(c+hn)-f(c))/(hn) = lim su n->+oo di f ' (xn) = lim per x->c+ di f ' (x).

[Rigel1]

Quell'ipotesi la usi nell'ultimo passaggio, per dire che
\[
\lim_n f'(x_n) = \lim_{x\to c+} f'(x).
\]
(Per inciso, il risultato da te citato segue anche direttamente dal teorema de l'Hopital.)