Teorema di Conservazione della Compattezza e della Connessione
Salve a tutti , sto studiando per l'esame di Analisi I, E mi sono imbattuto in due teoremi che vengono chiesti parecchio: il Teorema di Conservazione della Compattezza e della Connessione.
Teorema della conservazione della Compattezza:
Ipotesi:
1)A è un'insieme compatto.
2)f continua in A.
Tesi: f(A) è un compatto.
A questo punto il professore chiede un'osservazione:
Questo Teorema caratterizza le funzione continue?
La risposta sarebbe NO , ma qualcuno può spiegarmi cosa significa questa domanda e il perchè della risposta ?
Stessa cosa per la Conservazione della Connessione:
Ipotesi:
1)A è un'insieme connesso.
2f è continua in A.
Tesi:f(A) è un connesso.
E qui la seconda osservazione:Le funzioni continue non caratterizzano la conservazione della connessione.
Qualcuno può spiegarmi il significato di queste due osservazioni?
Grazie a tutti in anticipo.
Teorema della conservazione della Compattezza:
Ipotesi:
1)A è un'insieme compatto.
2)f continua in A.
Tesi: f(A) è un compatto.
A questo punto il professore chiede un'osservazione:
Questo Teorema caratterizza le funzione continue?
La risposta sarebbe NO , ma qualcuno può spiegarmi cosa significa questa domanda e il perchè della risposta ?
Stessa cosa per la Conservazione della Connessione:
Ipotesi:
1)A è un'insieme connesso.
2f è continua in A.
Tesi:f(A) è un connesso.
E qui la seconda osservazione:Le funzioni continue non caratterizzano la conservazione della connessione.
Qualcuno può spiegarmi il significato di queste due osservazioni?
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
È un modo di esprimere delle cose un po' strano, comunque dovrebbero voler dire:
Vuol dire: è vero che le funzioni continue sono tutte e sole le funzioni che mandano i compatti in compatti?
Vuol dire: le funzioni continue non sono tutte e sole le funzioni che mandano connessi in connessi, ma qui ho qualche dubbio in più.
Prova a trovare degli esempi.
"Biagio2580":
Questo Teorema caratterizza le funzione continue?
Vuol dire: è vero che le funzioni continue sono tutte e sole le funzioni che mandano i compatti in compatti?
Le funzioni continue non caratterizzano la conservazione della connessione
Vuol dire: le funzioni continue non sono tutte e sole le funzioni che mandano connessi in connessi, ma qui ho qualche dubbio in più.
Prova a trovare degli esempi.
"otta96":
È un modo di esprimere delle cose un po' strano, comunque dovrebbero voler dire:
[quote="Biagio2580"]Questo Teorema caratterizza le funzione continue?
Vuol dire: è vero che le funzioni continue sono tutte e sole le funzioni che mandano i compatti in compatti?
Le funzioni continue non caratterizzano la conservazione della connessione
Vuol dire: le funzioni continue non sono tutte e sole le funzioni che mandano connessi in connessi, ma qui ho qualche dubbio in più.
Prova a trovare degli esempi.[/quote]
Ma se l'ipotesi della conservazione della compattezza prevede che f sia continua in A, come è possibile che esistano delle funzioni non continue che facciano comunque valere il teorema ?
Rispondo all'ultimo dubbio di Biagio con una metafora. Poniamo che io abbia tre gatti a casa mia, tutti grigi. Posso formulare un teorema:
Teorema. Tutti i gatti di casa mia sono grigi.
Questo teorema è vero. Ora io chiedo: ma questo teorema caratterizza i gatti grigi? Formalmente sto chiedendo la cosa seguente:
Consideriamo un gatto grigio in un luogo qualunque del mondo. È vero che questo gatto è uno di quelli di casa mia?
La risposta ovviamente è no, perché esistono gatti grigi fuori da casa mia.
Alla stessa maniera, tu ti stai chiedendo se esistano funzioni che mandano compatti in compatti ("gatti grigi") ma che non sono continue ("non abitano a casa mia").
Teorema. Tutti i gatti di casa mia sono grigi.
Questo teorema è vero. Ora io chiedo: ma questo teorema caratterizza i gatti grigi? Formalmente sto chiedendo la cosa seguente:
Consideriamo un gatto grigio in un luogo qualunque del mondo. È vero che questo gatto è uno di quelli di casa mia?
La risposta ovviamente è no, perché esistono gatti grigi fuori da casa mia.
Alla stessa maniera, tu ti stai chiedendo se esistano funzioni che mandano compatti in compatti ("gatti grigi") ma che non sono continue ("non abitano a casa mia").
Risposta rapida:
\[
\begin{split}
f : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}\\
f(x) &:= \begin{cases} 0 &\text{, se } x \in \mathbb{Q} \\ 1 &\text{, se } x \notin \mathbb{Q}\end{cases}
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
f : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}\\
f(x) &:= \begin{cases} 0 &\text{, se } x \in \mathbb{Q} \\ 1 &\text{, se } x \notin \mathbb{Q}\end{cases}
\end{split}
\]
"dissonance":
Rispondo all'ultimo dubbio di Biagio con una metafora. Poniamo che io abbia tre gatti a casa mia, tutti grigi. Posso formulare un teorema:
Teorema. Tutti i gatti di casa mia sono grigi.
Questo teorema è vero. Ora io chiedo: ma questo teorema caratterizza i gatti grigi? Formalmente sto chiedendo la cosa seguente:
Consideriamo un gatto grigio in un luogo qualunque del mondo. È vero che questo gatto è uno di quelli di casa mia?
La risposta ovviamente è no, perché esistono gatti grigi fuori da casa mia.
Alla stessa maniera, tu ti stai chiedendo se esistano funzioni che mandano compatti in compatti ("gatti grigi") ma che non sono continue ("non abitano a casa mia").
Il che vorrebbe dire che esistono delle funzioni continue che fanno comunque valere il teorema?
Non usare il tasto cita per rispondere, non ce n'è bisogno, usa il tasto rispondi.
Detto questo, la tua domanda non vuol dire gran chè, è la dimostrazione che fa valere un teorema, probabilmente quello che volevi chiedere è "esistono delle funzioni continue che soddisfano la tesi del teorema?" il che è strano dato che lo dice il teorema stesso, dato che l'ipotesi è che la funzione sia continua, quindi OGNI funzione continua soddisfa la tesi (è così che funzionano i teoremi).
Se invece intendevi "esistono delle funzioni NON continue che soddisfano la tesi del teorema?" la risposta è si, alcune la soddisfano, altre no, un teorema non ti da informazioni su cosa succede nei casi in cui l'ipotesi non è verificata.
Detto questo, la tua domanda non vuol dire gran chè, è la dimostrazione che fa valere un teorema, probabilmente quello che volevi chiedere è "esistono delle funzioni continue che soddisfano la tesi del teorema?" il che è strano dato che lo dice il teorema stesso, dato che l'ipotesi è che la funzione sia continua, quindi OGNI funzione continua soddisfa la tesi (è così che funzionano i teoremi).
Se invece intendevi "esistono delle funzioni NON continue che soddisfano la tesi del teorema?" la risposta è si, alcune la soddisfano, altre no, un teorema non ti da informazioni su cosa succede nei casi in cui l'ipotesi non è verificata.
"Biagio2580":
Il che vorrebbe dire che esistono delle funzioni continue che fanno comunque valere il teorema?
No. Vedi la risposta di otta.
Questa dovrebbe essere una cosa facile, per lo meno a livello concettuale, non riesco a capire come mai stai trovando tanta difficoltà. Secondo me è piú facile di quello che pensi.
Dire che "conservare la compattezza" caratterizza le funzioni continue equivale a dire che vale un'equivalenza del tipo:
$f " è continua" <=> f " conserva la compattezza"$.
Ma, anche se $=>$ è vera, non è detto lo sia il viceversa.
Per rendertene conto, basta studiare l'esempio minimo che ti ho proposto sopra
$f " è continua" <=> f " conserva la compattezza"$.
Ma, anche se $=>$ è vera, non è detto lo sia il viceversa.
Per rendertene conto, basta studiare l'esempio minimo che ti ho proposto sopra
"otta96":
Se invece intendevi "esistono delle funzioni NON continue che soddisfano la tesi del teorema?" la risposta è si, alcune la soddisfano, altre no, un teorema non ti da informazioni su cosa succede nei casi in cui l'ipotesi non è verificata.
Esatto era questo che intendevo , volevo averne la conferma, grazie .
"gugo82":
Dire che "conservare la compattezza" caratterizza le funzioni continue equivale a dire che vale un'equivalenza del tipo:
$f " è continua" <=> f " conserva la compattezza"$.
Ma, anche se $=>$ è vera, non è detto lo sia il viceversa.
Per rendertene conto, basta studiare l'esempio minimo che ti ho proposto sopra
Grazie mille , era più semplice del previsto , ma ero confuso , ora ho capito, grazie a tutti per l'aiuto!!
"Biagio2580":
[quote="otta96"]
Se invece intendevi "esistono delle funzioni NON continue che soddisfano la tesi del teorema?" la risposta è si, alcune la soddisfano, altre no, un teorema non ti da informazioni su cosa succede nei casi in cui l'ipotesi non è verificata.
Esatto era questo che intendevo , volevo averne la conferma, grazie .[/quote]
Permettimi un'osservazione metodologica, sperando che non cada nel vuoto come i restanti due post.
Le conferme o le smentite fatte da altri non servono a nulla, se poi non sai analizzare da te una situazione o creare con le tue manine un controesempio minimo... Non è studio il ricevere conferme da altri, ma lo è riuscire a trovarle da sé.
"gugo82":
Le conferme o le smentite fatte da altri non servono a nulla, se poi non sai analizzare da te una situazione o creare con le tue manine un controesempio minimo... Non è studio il ricevere conferme da altri, ma lo è riuscire a trovarle da sé.
Non potrei essere maggiormente d'accordo, anzi, questa è una cosa che mi trovo spessissimo a ripetere qui.
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