Teorema di connessione in sp. metrici (dubbio)

[Seneca1]

Sia dato $(X,d)$ uno spazio metrico. Nel dimostrare la seguente implicazione:

$S subset X$ è sconnesso $Rightarrow$ $EE f : S -> {0,1}$ continua e suriettiva

si definisce $f$ in modo tale che, detti $A,B$ i due aperti che realizzano la sconnessione, sia $f(x) = 1$ se $x in S nn A$ e $f(x) = 0$ se $x in S nn B$.
La suriettività di $f$ è praticamente gratis (discende dalla definizione di $f$). Ora, sarà la stanchezza, ma per la continuità credo si utilizzi la proposizione che suona così:

$f : X -> Y$ continua se e solo se $f^(-1) (B) = A$ è aperto , per ogni aperto $B in Y$.

Ma non mi è del tutto chiaro il modo di procedere...

Grazie a chi avrà il tempo di rispondermi.

[dissonance]

Gli aperti dello spazio topologico \(\{0, 1\}\) sono quattro:

\[\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}.\]

Controlla una ad una le controimmagini di ciascuno di essi.

[Seneca1]

Non avendo fatto topologia penso ancora in termini metrici, ohibò.

Grazie.

[dissonance]

Puoi pensare pure in termini metrici se vuoi. Gli aperti di \(\{0, 1\}\) (che è pensato come sottospazio metrico di \(\mathbb{R}\), per la massima chiarezza) sempre quelli sono! Infatti l'intorno aperto di raggio \(1/2\) di \(0\) è \(\{0\}\), l'intorno aperto di raggio \(1/2\) di \(1\) è \(\{1\}\), gli intorni di raggio \(>1\) si riducono entrambi a \(\{0, 1\}\) e \(\varnothing\) è sempre aperto per definizione.

Questa situazione è quella naturale sugli insiemi finiti. Si parla di topologia discreta, nel senso che discerne (distingue) i singoli punti.