Teorema di confronto per il calcolo delle terivate.
salve, se io ho in un intorno di x con 0 che f(x)<=g(x)<=h(x) e so calcolare le derivate di f(x) e h(x), e f'(x con 0)=h'(x con 0) posso certamente dire che g'(x con 0) =f'(x con 0)=h'(x con 0. infatti se divido per h tutti i membri se h è positivo le disuguaglianze si conservano, mentre se h è negativo si inverte il senso ma resta comunque il fatto che g(x) è compresa tra le 2 funzioni. Perchè su nessun libro di testo si parla della possibilità di applicare il teorema del confronto anche per il calcolo delle derivate??? grazie mille:)
Risposte
"mino.c":
salve, se io ho in un intorno di x con 0 che f(x)<=g(x)<=h(x) e so calcolare le derivate di f(x) e h(x), e f'(x con 0)=h'(x con 0) posso certamente dire che g'(x con 0) =f'(x con 0)=h'(x con 0.
Fissata la \(x\) e disegnato il grafico delle funzioni la prima disuguaglianza stabilisce l'ordine in altezza dei tre punti \(f(x),g(x),h(x)\) sul grafico. L'uguaglianza \(f'(x_{0})=h'(x_{0})\) mostra che le inclinazioni delle funzioni nel punto sono le stesse. Detto questo non ho capito perché \(g'(x_{0})\) deve essere uguale alle altre due derivate.
Se ho in \([0,1]\)
\begin{split}
f(x)&=x+1 \\
g(x)&=1 \\
h(x)&=x \\
\end{split}
le derivate di \(f,h\) coincidono in tutto il dominio ed anche \(f\leq g \leq h\) vale, ma la derivata di \(g\) è la funzione nulla. No?
mi scusi, avevo dimenticato di scrivere che devono valere le condizioni f(x con 0)=h(x con 0)
Boh, non lo so.
grazie lo stesso comunque
Vabbé, dai... Praticamente è una banale applicazione del teorema dei carabinieri.
Infatti, se \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) intorno a \(x_0\) e \(f(x_0)=h(x_0)\), allora \(g(x_0)=f(x_0)=h(x_0)\), sicché:
\[
x>x_0 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \leq \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} \leq \frac{h(x) - h(x_0)}{x-x_0}
\]
e:
\[
x
da cui:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} &\leq \lim_{x\to x_0^+} \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} \leq \lim_{x\to x_0^+} \frac{h(x) - h(x_0)}{x-x_0} \qquad \text{e} \\
\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} &\geq \lim_{x\to x_0^-} \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} \geq \lim_{x\to x_0^-} \frac{h(x) - h(x_0)}{x-x_0}
\end{split}
\]
per il già citato teorema; nell'ulteriore ipotesi in cui \(f\) ed \(h\) siano entrambe derivabili in \(x_0\) e che risulti \(f^\prime (x_0)=h^\prime (x_0)\), le disuguaglianze precedenti importano che anche \(g\) è derivabile in \(x_0\) e che \(g^\prime (x_0)=f^\prime (x_0)=h^\prime (x_0)\).
Infatti, se \(f(x)\leq g(x)\leq h(x)\) intorno a \(x_0\) e \(f(x_0)=h(x_0)\), allora \(g(x_0)=f(x_0)=h(x_0)\), sicché:
\[
x>x_0 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \leq \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} \leq \frac{h(x) - h(x_0)}{x-x_0}
\]
e:
\[
x
da cui:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} &\leq \lim_{x\to x_0^+} \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} \leq \lim_{x\to x_0^+} \frac{h(x) - h(x_0)}{x-x_0} \qquad \text{e} \\
\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} &\geq \lim_{x\to x_0^-} \frac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} \geq \lim_{x\to x_0^-} \frac{h(x) - h(x_0)}{x-x_0}
\end{split}
\]
per il già citato teorema; nell'ulteriore ipotesi in cui \(f\) ed \(h\) siano entrambe derivabili in \(x_0\) e che risulti \(f^\prime (x_0)=h^\prime (x_0)\), le disuguaglianze precedenti importano che anche \(g\) è derivabile in \(x_0\) e che \(g^\prime (x_0)=f^\prime (x_0)=h^\prime (x_0)\).
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