Teorema di completezza di $RR.$
Buongiorno,
Vi riporto il teorema di completezza-assioma di completezza.
Sia $A subset RR, \ qquad A ne \emptyset.$
Se $A$ è limitato superiormente, allora $A$ possiede estremo superiore, dicesi lo stesso se $A$ è limitato inferiormente.
Dimostrazione
Se $A$ è finito allora esiste il massimo, quindi l'estremo superiore è il massimo .
Se $A$ è infinito, poichè $A$ è limitato superiormente, allora esiste un $y_0 in RR$ tale che $forall x in A, \ y_0 ge x.$ Sia $x_0 in A$ e consideriamo l'intervallo $[x_0,y_0]$, dividiamo tale intervallo, ottenendo due intervalli $[x_0,c] $ e $ [c,y_0],$ dove $c=(x_0+y_0)/2.$
Scegliamo uno dei due intervalli in cui ci sono elementi di $A$, optando per il secondo se ci sono elementi di $A$ in entrambi.
Questa prima parte non mi è chiara, cioè perchè uno dei due intervalli ottenuti, non deve contenere punti di $A$ se $A$ è infinito per ipotesi.
Vi riporto il teorema di completezza-assioma di completezza.
Sia $A subset RR, \ qquad A ne \emptyset.$
Se $A$ è limitato superiormente, allora $A$ possiede estremo superiore, dicesi lo stesso se $A$ è limitato inferiormente.
Dimostrazione
Se $A$ è finito allora esiste il massimo, quindi l'estremo superiore è il massimo .
Se $A$ è infinito, poichè $A$ è limitato superiormente, allora esiste un $y_0 in RR$ tale che $forall x in A, \ y_0 ge x.$ Sia $x_0 in A$ e consideriamo l'intervallo $[x_0,y_0]$, dividiamo tale intervallo, ottenendo due intervalli $[x_0,c] $ e $ [c,y_0],$ dove $c=(x_0+y_0)/2.$
Scegliamo uno dei due intervalli in cui ci sono elementi di $A$, optando per il secondo se ci sono elementi di $A$ in entrambi.
Questa prima parte non mi è chiara, cioè perchè uno dei due intervalli ottenuti, non deve contenere punti di $A$ se $A$ è infinito per ipotesi.
Risposte
Scusami, ma un assioma non devi dimostrarlo... e se non erro l'assioma di completezza è un assioma. No?
Probabilmente l'assioma di riferimento è quello di Dedekind, che non è formulato in termini di esistenza dell'estremo superiore. Quanto alla domanda se prendi $[0,1]$ esso ha infiniti punti in $[0,2]$ ma nessuno in $(1,2]$.
"3m0o":
Scusami, ma un assioma non devi dimostrarlo... e se non erro l'assioma di completezza è un assioma. No?
Ciao grazie per la risposta. Sul libro viene specificato che il teorema, è una forma equivalente dell'assioma di completezza. Invece, per la domanda, potrei rispondermi dicendo in modo poco formale:
l'insieme $A$ è infinito, ma non implica il modo in cui sono disposti gli elementi di $A$, in altre parole, posso immaginare che alcuni tratti dell'insieme $A$, sia vuoto?
Certo, proprio l'esempio che ti ho fatto ti mostra questo...
@ galles90: Che versione dell’Assioma di Completezza usi?
Forse una sorta di condizione di Cantor, tipo:
o simili?
Forse una sorta di condizione di Cantor, tipo:
Per ogni successione di intervalli chiusi \( \{ [a_n,b_n] \}_{n \in \mathbb{N}}\) decrescente rispetto all’inclusione esiste almeno un elemento $c in RR$ tale che, per ogni $n in NN$, $c in [a_n,b_n]$.
o simili?
"Luca.Lussardi":
Quanto alla domanda se prendi $[0,1]$ esso ha infiniti punti in $[0,2]$ ma nessuno in $(1,2]$.
Ciao Luca, grazie per la risposta.
Vediamo se ho capito bene, il nostro $A$ è l'intervallo $[0,1]$, e $y_0=2$, quindi $y_0 ge x, forall x in A.$
Sia $[0,2]$ e dividiamo quest'ultimo mediante $c$ il punto intermedio, quindi otteniamo l'intervalli $[0,1]$ e $]1,2].$ L'intervallo $[0,1]$ ha infiniti punti in $[0,2]$ e nessun punto in $]1,2]$.
L'unica incertezza che ho, perchè sul libro viene incluso $c$ in entrambi l'intervalli che si ottengono dalla devisione.
Ciao gugo82,l'assioma di completezza, viene introdotto subito dopo questo teorema. In particolare una volta dimostrato il teorema, introduce la nozione di sezione di una coppia di insiemi, da quì il seguente:
Corallario Per ogni sezione di ${A,B}$ di $RR$ esiste un unico numero reale $c$ tale che:
$a le c le b \ qquad forall a in A, \ forall b in B.$
Quest'ultimo viene enunciato come l'assioma di completezza.
Il fatto che includa $c$ o no è irrilevante, il mio era solo un esempio, non cambia la sostanza anche se includi $c$: la sola cosa che conta è che almeno uno dei due intervalli creati dalla suddivisione contiene infiniti punti di $A$, se $A$ è infinito.
Per la completezza non puoi introdurre l'assioma di completezza dopo quel teorema... senza completezza quel teorema non è vero (pensa all'insieme dei razionali), cerca meglio tra i tuoi appunti oppure leggi tutta la dimostrazione, da qualche parte userà l'assioma.
Per la completezza non puoi introdurre l'assioma di completezza dopo quel teorema... senza completezza quel teorema non è vero (pensa all'insieme dei razionali), cerca meglio tra i tuoi appunti oppure leggi tutta la dimostrazione, da qualche parte userà l'assioma.
"Luca.Lussardi":
Il fatto che includa $c$ o no è irrilevante, il mio era solo un esempio, non cambia la sostanza anche se includi $c$: la sola cosa che conta è che almeno uno dei due intervalli creati dalla suddivisione contiene infiniti punti di $A$, se $A$ è infinito.
Perfetto come immaginavo
Per quanto riguarda l'assioma di completezza viene introdotto subito dopo, non viene citato in alcun modo in precedenza, anzi, all'inizio del capitolo di introduzione dei numeri reali, viene specificato che si è preferità questa definizione più "costruttiva" che altre, tipo assioma di completezza.
Comunque continuo con la dimostrazione...
L'intervallo scelto che contiene infiniti punti di $A$ lo indico con $[x_1,y_1]$ si ha $y_1 ge x, \ forall x in A$ e inoltre
$y_1-x_1=(y_0-x_0)/2$
Procedendo su $[x_1,y_1]$ come fatto su $[x_0,y_0]$ si ha una successioni di intervalli $[x_n,y_n]$ con le seguenti proprietà:
$1)\ [x_0,y_0] supset [x_1,y_1] supset ... supset [x_n,y_n],$
$2)\ y_n-x_n=(y_0-x_0)/2^n$ e $ [x_n,y_n]$ contiene infiniti punti di $A,$
$3)\ y_n ge x \ forall x in A$ e per ogni $n,$
$4)\ {x_n} $ è non decrescente e limitata superiormente da $y_0$ quindi esiste un numero $mathbf{x}$ tale che $x_n mapsto mathbf{x}$. Inoltre, per ogni $k,n$ si ha $x_n
$x_n le mathbf{x} le y_n$
La proprità che salta più all'occhio
presumo sia la $4)$ si basa sulla definizione di successione stabilizzata e su un lemma il quale dice:Sia $a_n$ una successione di numeri reali non negativi, non decrescente e limitata superiormente da una costante $M$. Allora la successione $a_n$ è stabilizzata, cioè $a_n mapsto mathbf{a} $ "si legge $a_n$ segue $a$" dove $mathbf{a}$ soddisfa la seguente relazione
$a_n le mathbf{a} le M$
Dove il numero $mathbf{x}=mbox{supA}$...è chiaro fin quì ?
Si, ma la completezza è proprio qui: ti serve un assioma se vuoi che una successione monotona abbia limite. Quel lemma che hai riportato si dimostra sfruttando un assioma di completezza, non ne esci altrimenti.
@ galles90: Che testo stai usando?
(Forse non è la prima volta che te lo chiedo, ma non ricordo la risposta… Scusa.)
(Forse non è la prima volta che te lo chiedo, ma non ricordo la risposta… Scusa.)
Scusate se vi rispondo ora, è estate grazie per la risposta Luca, comunque gugo82, il libro è : Pagani-Salsa Analisi 1 edizione 2015.
grazie per la risposta Luca, comunque gugo82, il libro è : Pagani-Salsa Analisi 1 edizione 2015.
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