Teorema di compattezza (dimostrazione troppo generica?)
'giorno a tutti,
non pensavo potesse mai accadere, ma dopotutto anche la topologia inizia a piacermi. Tant'è che mi sono messo a fare anchio il puntiglioso e mi sono accorto che c'è qualcosa che non va in una dimostrazione fatta a lezione.
Si tratta del teorema di compattezza (per la cronaca, ho scoperto su questo sito che si chiama così), vale a dire la proprietà di una funzione continua di mandare compatti in compatti.
Per qualche ragione nella trattazione degli insiemi compatti, abbiamo bellamente saltato la nozione di copertura e abbiamo usato solamente la compattezza per successione che, se non sbaglio, è valida solo in Rn in virtù di Bolzano-Weierstrass (per la cronaca, se qualcuno vuole darmi una mano anche qui: viewtopic.php?f=36&t=118288).
Quindi nella dimostrazione del teorema di compattezza quello che faccio è dimostrare che l'insieme di arrivo X2 ha una sottosuccessione convergente ad un elmento di X2.
Ora, il dubbio è:
questa dimostrazione è valida solo in Rn, vero?
Dunque è un errore nelle ipotesi dire che l'insieme di arrivo è un generico spazio?
D'altra parte (scusate se mi dilungo), tutto questo mi serve per dimostrare Weierstrass che da parte sua è valido in Rn, quindi una dimostrazione vale l'altra, no? È solo una questione di "precisione" (se dice così mò)
Grazie in anticipo.
non pensavo potesse mai accadere, ma dopotutto anche la topologia inizia a piacermi. Tant'è che mi sono messo a fare anchio il puntiglioso e mi sono accorto che c'è qualcosa che non va in una dimostrazione fatta a lezione.
Si tratta del teorema di compattezza (per la cronaca, ho scoperto su questo sito che si chiama così), vale a dire la proprietà di una funzione continua di mandare compatti in compatti.
Per qualche ragione nella trattazione degli insiemi compatti, abbiamo bellamente saltato la nozione di copertura e abbiamo usato solamente la compattezza per successione che, se non sbaglio, è valida solo in Rn in virtù di Bolzano-Weierstrass (per la cronaca, se qualcuno vuole darmi una mano anche qui: viewtopic.php?f=36&t=118288).
Quindi nella dimostrazione del teorema di compattezza quello che faccio è dimostrare che l'insieme di arrivo X2 ha una sottosuccessione convergente ad un elmento di X2.
Ora, il dubbio è:
questa dimostrazione è valida solo in Rn, vero?
Dunque è un errore nelle ipotesi dire che l'insieme di arrivo è un generico spazio?
D'altra parte (scusate se mi dilungo), tutto questo mi serve per dimostrare Weierstrass che da parte sua è valido in Rn, quindi una dimostrazione vale l'altra, no? È solo una questione di "precisione" (se dice così mò)
Grazie in anticipo.
Risposte
nella trattazione degli insiemi compatti, abbiamo bellamente saltato la nozione di copertura e abbiamo usato solamente la compattezza per successione che, se non sbaglio, è valida solo in Rn
Non sono affatto esperta di topologia, quindi prendi con le molle quello che dico. La definizione sequenziale (o per successioni) di compattezza richiede che vi sia una nozione di convergenza per lo spazio in considerazione. Quindi non vale solo un R^n, ma senz'altro in tutti gli spazi metrici e in generale negli spazi topologici. Ho qui sottomano Royden 'Real analysis', che nel capitolo di topologia definisce gli spazi topologici compatti per ricoprimenti e gli spazi topologici compatti sequenzialmente. In uno spazio metrico le due nozioni sono equivalenti, in uno spazio topologico generale sono equivalenti solo per spazi topologici secondo numerabili (Royden dixit! non io!).
Non sono affatto esperta di topologia, quindi prendi con le molle quello che dico. La definizione sequenziale (o per successioni) di compattezza richiede che vi sia una nozione di convergenza per lo spazio in considerazione. Quindi non vale solo un R^n, ma senz'altro in tutti gli spazi metrici e in generale negli spazi topologici. Ho qui sottomano Royden 'Real analysis', che nel capitolo di topologia definisce gli spazi topologici compatti per ricoprimenti e gli spazi topologici compatti sequenzialmente. In uno spazio metrico le due nozioni sono equivalenti, in uno spazio topologico generale sono equivalenti solo per spazi topologici secondo numerabili (Royden dixit! non io!).
non pensavo potesse mai accadere, ma dopotutto anche la topologia inizia a piacermi. .
I concetti di topologia sono anguille scivolose, passano in pochi secondi dall'ovvio all'oscuro e viceversa, mi è capitato di fare io qualche dimostrazione che mi sembrava banale e dopo tre minuti non capirla più, non so se capita anche a voi. Sarà che di topologia ne ho fatta pochissima. Saluti a te e a tutti
I concetti di topologia sono anguille scivolose, passano in pochi secondi dall'ovvio all'oscuro e viceversa, mi è capitato di fare io qualche dimostrazione che mi sembrava banale e dopo tre minuti non capirla più, non so se capita anche a voi. Sarà che di topologia ne ho fatta pochissima. Saluti a te e a tutti
Be'...non ti nascondo che non mi è molto chiaro, ma ok... 
Comunque l'esame è andato e non ci pensiamo più. Graciass..
Comunque l'esame è andato e non ci pensiamo più. Graciass..
Ciao, grazie a te!
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